Catégories de chansons en mémoire et durée d’écoute

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 3 • 5 points

Catégories de chansons en mémoire et durée d’écoute

Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note :

R l’événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;

F l’événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. Calculer P(R), la probabilité de l’événement R. (0,75 point)

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements R et F. (0,5 point)

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français. (0,75 point)

4. Parmi toutes les chansons enregistrées, 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que P(F R¯)=0,28. (0,75 point)

5. En déduire P R¯(F) et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. (0,75 point)

partie b

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d’espérance μ=30 et d’écart-type σ=10.

Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? (0,5 point)

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. La probabilité cherchée est la probabilité de l’intersection de deux événements.

5. b) N’oubliez pas qu’une probabilité conditionnelle correspond à une restriction de l’univers.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Calculer la probabilité d’un événement

Puisqu’en mode « lecture aléatoire », les chansons sont choisies de façon équiprobable, et qu’il y a 960 chansons classées dans la catégorie rock sur un total de 3 200 chansons :

P(R)=9603200=0,3.

2. Traduire une donnée par une probabilité

Le pourcentage de chansons interprétées en français parmi celles classées dans la catégorie rock donne la probabilité qu’une chanson choisie au hasard soit interprétée en français sachant qu’elle est classée dans la catégorie rock. Donc :

PR(F)=0,35.

3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français est la probabilité que les événements R et F soient simultanément réalisés, c’est-à-dire la probabilité de leur intersection.

P(RF)=P(R)×PR(F)=0,3×0,35

P(RF)=0,105.

4. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’énoncé, 38,5 % des chansons enregistrées sont interprétées en français, donc :

P(F)=0,385.

Info

On peut dire que 28 % des chansons enregistrées sont interprétées en français et ne sont pas classées dans la catégorie rock.

Les événements R et R¯ forment une partition de l’univers, donc :

P(F)=P(FR)+P( R¯)

P( R¯)=P(F)P(FR)

P(F R¯)=0,3850,105

P(F R¯)=0,28.

5. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle

P( R¯) étant non nulle :

P R¯(F)=P(F R¯)P( R¯).

Attention !

Il ne faut pas confondre ce résultat avec celui de la question précédente. Il s’agit ici d’une probabilité conditionnelle, on ne considère que les chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock.

Or P( R¯)=1P(R)=0,7, donc :

P R¯(F)=0,280,7=0,4.

Donc 40 % des chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.

partie b

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que la durée de l’écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes est :

P(15X45).

D’après la calculatrice, en arrondissant au millième :

P(15X45)0,866.

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que l’écoute dure plus d’une heure est P(X>60).

Puisque la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 30 :

P(X>60)=P(X30)P(30X60)0,50,499=0,001.

Arrondie au millième, la probabilité que l’écoute dure plus d’une heure est égale à 0,001.