Ce sont des triplets !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique

 

Afrique • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Ce sont des triplets !

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls (x,  y,  z) tels que x2 +  y2 = z2. Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32 + 42 =+ 16 = 25 = 52.

Partie A : généralités

1. Démontrer que, si (x,  y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px, py, pz) est lui aussi un TP.

2. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs.

3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 2 par un entier impair :

= 2α × k α est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.

L’écriture = 2α × k est nommée décomposition de n.

Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 20 × 9, 120 = 23 × 15.

a) Donner la décomposition de l’entier 192.

b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont = 2α × k et z = 2β × m.

Écrire la décomposition des entiers naturels 2x2 et z2.

c) En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2x2 et dans celle de z2, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x2 = z2.

On admet que la question A 3. permet d’établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l’ordre suivant : x < y < z.

Partie B : recherche de triplets 
pythagoriciens contenant l’entier 2015

1. Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2015).

2. On admet que, pour tout entier naturel n, (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2.

Déterminer un TP de la forme (2015, y, z).

3. a) En remarquant que 4032 = 169 × 961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que : z2 – x2 = 4032, avec x < 403.

b) En déduire un TP de la forme (x, 2015, z).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers.

Nos coups de pouce

Partie A

2. Raisonnez par l’absurde.

Partie B

2. Décomposez 2015 sous la forme 3154708-Eqn27 pour déterminer la valeur de 3154708-Eqn28 à utiliser dans la formule proposée.

Corrigé

Corrigé

partie A : généralités

1. Vérifier qu’un triplet est un triplet pythagoricien

Supposons que 3154708-Eqn374 est un TP. Dans ce cas : 3154708-Eqn375.

Pour tout entier naturel 3154708-Eqn376 non nul :

3154708-Eqn377.

Par conséquent, 3154708-Eqn378est un TP.

2. Étudier la parité simultanée d’entiers naturels

Supposons que 3154708-Eqn379 est un TP. Nous avons alors 3154708-Eqn380.

Raisonnons par l’absurde en supposant que les trois entiers naturels 3154708-Eqn381, 3154708-Eqn382 et 3154708-Eqn383 sont tous les trois impairs.

Dans ce cas, nous avons : 3154708-Eqn384, 3154708-Eqn385 et 3154708-Eqn386.

Par conséquent : 3154708-Eqn387 et 3154708-Eqn388.

Cela signifie donc que 3154708-Eqn389 est pair et 3154708-Eqn390 est impair.

Or ceci est absurde : un nombre impair ne peut être égal à un nombre pair. L’hypothèse initiale était donc fausse.

Par conséquent, si 3154708-Eqn391est un TP, alors les trois entiers naturels 3154708-Eqn392, 3154708-Eqn393 et 3154708-Eqn394ne peuvent pas être tous les trois impairs.

3. a) Donner la décomposition d’un entier naturel

Nous avons : 3154708-Eqn395.

b) Décomposer des entiers naturels

Comme 3154708-Eqn396, nous avons 3154708-Eqn397 et :

3154708-Eqn398, où 3154708-Eqn399 est impair puisque 3154708-Eqn400 est impair.

De même, comme 3154708-Eqn401, nous avons :

3154708-Eqn402, où 3154708-Eqn403 est impair puisque 3154708-Eqn404 est impair.

c) Vérifier qu’une égalité donnée ne peut être satisfaite

Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe deux entiers naturels non nuls 3154708-Eqn405 et 3154708-Eqn406 tels que 3154708-Eqn407.

En utilisant leurs décompositions, nous avons alors : 3154708-Eqn408, où 3154708-Eqn409 sont des entiers naturels impairs.

Par conséquent, les puissances de 2 sont égales et nous obtenons alors 3154708-Eqn410. Or, 3154708-Eqn411 est impair et 3154708-Eqn412 est pair : cela est absurde.

Notre hypothèse initiale est donc fausse. Par conséquent, il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls 3154708-Eqn413tels que 3154708-Eqn414.

partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2015

1. Déterminer un triplet pythagoricien

Nous avons 3154708-Eqn415.

Le TP donné dans le préambule est 3154708-Eqn416. En prenant 3154708-Eqn417, d’après la question 1. de la partie A, nous savons que 3154708-Eqn418 est lui aussi un TP.

Par conséquent, 3154708-Eqn419est un TP.

2. Déterminer un triplet pythagoricien

Remarquons tout d’abord que, 2015 étant un entier impair, il peut s’écrire sous la forme 3154708-Eqn420 avec 3154708-Eqn421.

En utilisant l’égalité, vraie pour tout entier naturel 3154708-Eqn422, donnée dans l’énoncé, 3154708-Eqn423 et en prenant 3154708-Eqn424, nous obtenons :

3154708-Eqn425

ce qui équivaut à 3154708-Eqn426.

Par conséquent, 3154708-Eqn427est un TP.

3. a) Rechercher une décomposition sous la forme d’une différence de carrés

Nous avons 3154708-Eqn428.

Notez bien

Pour tous réels 3154708-Eqn429 et 3154708-Eqn430 :

3154708-Eqn431.

Cherchons alors à écrire le produit 3154708-Eqn432 sous la forme 3154708-Eqn4333154708-Eqn434 et 3154708-Eqn435 sont des entiers naturels non nuls avec 3154708-Eqn436.

Résolvons alors le système : 3154708-Eqn437.

3154708-Eqn438.

Le couple 3154708-Eqn439convient. Ainsi 3154708-Eqn440.

b) Déterminer un triplet pythagoricien

En remarquant que 3154708-Eqn441, nous obtenons, en multipliant dans l’égalité 3154708-Eqn442 par 3154708-Eqn443, le résultat :

3154708-Eqn444

Par conséquent, 3154708-Eqn445est un TP.