Ce sont des triplets !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique

 

Afrique • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Ce sont des triplets !

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls (x,  y,  z) tels que x2 +  y2 = z2. Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32 + 42 =+ 16 = 25 = 52.

Partie A : généralités

1. Démontrer que, si (x,  y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px, py, pz) est lui aussi un TP.

2. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs.

3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 2 par un entier impair :

= 2α × k α est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.

L’écriture = 2α × k est nommée décomposition de n.

Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 20 × 9, 120 = 23 × 15.

a) Donner la décomposition de l’entier 192.

b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont = 2α × k et z = 2β × m.

Écrire la décomposition des entiers naturels 2x2 et z2.

c) En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2x2 et dans celle de z2, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x2 = z2.

On admet que la question A 3. permet d’établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l’ordre suivant : x < y < z.

Partie B : recherche de triplets 
pythagoriciens contenant l’entier 2015

1. Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2015).

2. On admet que, pour tout entier naturel n, (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2.

Déterminer un TP de la forme (2015, y, z).

3. a) En remarquant que 4032 = 169 × 961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que : z2 – x2 = 4032, avec x < 403.

b) En déduire un TP de la forme (x, 2015, z).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers.

Nos coups de pouce

Partie A

2. Raisonnez par l’absurde.

Partie B

2. Décomposez 2015 sous la forme 3154708-Eqn27 pour déterminer la valeur de 3154708-Eqn28 à utiliser dans la formule proposée.