Nombres complexes et applications

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1711_03_02C

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 4 • 3 points • ⏱ 45 min

Cercle circonscrit à un triangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O \vec{u}, \vec{v})$ , on considère les points A et B d'affixes respectives :

$z_{A} = 2 e^{i \frac{π}{4}} et z_{B} = 2 e^{i \frac{3 π}{4}}$ .

matT_1711_03_02C_01

▶ 1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.

▶ 2. On considère l'équation (E) : $z^{2} - \sqrt{6} z + 2 = 0$ .

Montrer qu'une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Les clés du sujet

▶ 1. Déterminez OA et OB, ainsi qu'une mesure de l'angle $(\vec{OA}, \vec{OB})$ pour conclure.

▶ 2. Rappelez-vous que le centre Ω du cercle circonscrit au triangle rectangle isocèle OAB est le milieu de l'hypoténuse [AB]. Déterminez l'affixe de Ω et le rayon du cercle. Déterminez la distance entre Ω et le point dont l'affixe est l'une des solutions de l'équation (E) pour conclure.

Corrigé

▶ 1. Justifier la nature d'un triangle E21 • E22

Puisque $z_{A} = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ , nous avons $OA = | z_{A} | = 2$ .

Puisque $z_{B} = 2 e^{i \frac{3 π}{4}}$ , nous avons $OB = | z_{B} | = 2$ . Comme $OA = OB$ , nous en déduisons que le triangle OAB est isocèle en O.

rappel

Pour tous nombres réels θ et θ′, $\frac{e^{i θ}}{e^{i θ^{'}}} = e^{i (θ - θ^{'})}$ .

• $\begin{matrix} (\vec{OA}, \vec{OB}) = \arg (\frac{z_{B} - z_{O}}{z_{A} - z_{O}}) = \arg (\frac{z_{B}}{z_{A}}) \\ = \arg (\frac{2 e^{i \frac{3 π}{4}}}{2 e^{i \frac{π}{4}}}) = \arg (e^{i (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})}) \\ = \arg (e^{i \frac{π}{2}}) = \frac{π}{2} [2 π] . \end{matrix}$

Par conséquent, l'angle $\hat{AOB}$ est un angle droit : le triangle OAB est donc rectangle en O.

Finalement, le triangle OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

▶ 2. Résoudre une équation et positionner l'image d'une des solutions E21a • E22 • E23

L'équation (E) est de la forme $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a = 1$ , $b = - \sqrt{6}$ et $c = 2$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- \sqrt{6})}^{2} - 4 \times 1 \times 2 = - 20$ .

L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} = \frac{\sqrt{6} + i \sqrt{2}}{2}$ et $z_{2} = \bar{z_{1}} = \frac{\sqrt{6} - i \sqrt{2}}{2}$ .

OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

Le centre Ω du cercle circonscrit au triangle OAB est donc le milieu de l'hypoténuse [AB].

Ω a ainsi pour affixe :

$\begin{matrix} z_{Ω} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{2 e^{i \frac{π}{4}} + 2 e^{i \frac{3 π}{4}}}{2} = e^{i \frac{π}{4}} + e^{i \frac{3 π}{4}} \\ = \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4} + \cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4} \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ = i \sqrt{2} . \end{matrix}$

autre méthode

$R = O Ω = | z_{Ω} | = | i \sqrt{2} | = | i | \times | \sqrt{2} | = \sqrt{2} .$

Le rayon R du cercle circonscrit au triangle OAB n'est autre que OΩ.

$R = O Ω = | z_{Ω} | = | i \sqrt{2} | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{2} .$

Considérons le point A1 d'affixe $z_{1} = \frac{\sqrt{6} + i \sqrt{2}}{2}$ .

Nous avons :

$\begin{matrix} Ω A_{1} = | z_{A_{1}} - z_{Ω} | = | \frac{\sqrt{6} + i \sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2} | = | \frac{\sqrt{6} - i \sqrt{2}}{2} | \\ = \sqrt{{(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2} = R . \end{matrix}$

Par conséquent, le point A1 appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.

Ainsi, une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Cercle circonscrit à un triangle

▶ 1. Justifier la nature d'un triangle E21 • E22

▶ 2. Résoudre une équation et positionner l'image d'une des solutions E21a • E22 • E23

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