Annale corrigée Exercice Ancien programme

Cercle circonscrit à un triangle

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 4 • 3 points • 45 min

Cercle circonscrit à un triangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

 

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (Ou,v), on considère les points A et B d'affixes respectives :

zA=2eiπ4etzB=2ei3π4.

matT_1711_03_02C_01

1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.

2. On considère l'équation (E) : z26z+2=0.

Montrer qu'une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Les clés du sujet

1. Déterminez OA et OB, ainsi qu'une mesure de l'angle (OA,OB) pour conclure.

2. Rappelez-vous que le centre Ω du cercle circonscrit au triangle rectangle isocèle OAB est le milieu de l'hypoténuse [AB]. Déterminez l'affixe de Ω et le rayon du cercle. Déterminez la distance entre Ω et le point dont l'affixe est l'une des solutions de l'équation (E) pour conclure.

Corrigé

1. Justifier la nature d'un triangle  E21 • E22 

Puisque zA=2eiπ4, nous avons OA=|zA|=2.

Puisque zB=2ei3π4, nous avons OB=|zB|=2. Comme OA=OB, nous en déduisons que le triangle OAB est isocèle en O.

rappel

Pour tous nombres réels θ et θ, eiθeiθ=ei(θθ).

• (OA,OB)=arg(zBzOzAzO)=arg(zBzA)=arg(2ei3π42eiπ4)=arg(ei(3π4π4))=arg(eiπ2)=π2[2π].

Par conséquent, l'angle AOB^ est un angle droit : le triangle OAB est donc rectangle en O.

Finalement, le triangle OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

2. Résoudre une équation et positionner l'image d'une des solutions  E21a • E22 • E23 

L'équation (E) est de la forme az2+bz+c=0 avec a=1, b=6 et c=2.

Δ=b24ac=(6)24×1×2=20.

L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées :

z1=b+iΔ2a=6+i22 et z2=z1¯=6i22.

OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

Le centre Ω du cercle circonscrit au triangle OAB est donc le milieu de l'hypoténuse [AB].

Ω a ainsi pour affixe :

zΩ=zA+zB2=2eiπ4+2ei3π42=eiπ4+ei3π4=cosπ4+isinπ4+cos3π4+isin3π4=22+i2222+i22=i2.

autre méthode

R=OΩ=|zΩ|=|i2|=|i|×|2|=2.

Le rayon R du cercle circonscrit au triangle OAB n'est autre que OΩ.

R=OΩ=|zΩ|=|i2|=02+(2)2=2.

Considérons le point A1 d'affixe z1=6+i22.

Nous avons :

ΩA1=|zA1zΩ|=|6+i22i2|=|6i22|=(62)2+(22)2=84=2=R.

Par conséquent, le point A1 appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.

Ainsi, une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

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