Calculer avec des grandeurs mesurables
mat3_1506_01_01C
Maths
39
D'après Afrique • Juin 2015
Exercice 7 • 7,5 points
Une maison est composée d'une partie principale qui a la forme d'un pavé droit ABCDEFGH surmonté d'une pyramide IABCD de sommet I et de hauteur [IK1] perpendiculaire à la base de la pyramide.
Cette pyramide est coupée en deux parties :
une partie basse ABCDRTSM destinée aux chambres ;
une partie haute IRTSM réduction de hauteur [IK2] de la pyramide IABCD correspondant au grenier.
On a : EH = 12 m ; AE = 3 m ; HG = 9 m ; IK1 = 6,75 m et IK2 = 4,5 m.
La figure donnée n'est pas à l'échelle.
▶ 1. Calculer la surface au sol de la maison.
▶ 2. Des radiateurs électriques seront installés dans toute la maison, excepté au grenier.
On cherche le volume à chauffer de la maison.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : 
a) Calculer le volume de la partie principale.
b) Calculer le volume des chambres.
c) Montrer que le volume à chauffer est égal à 495 m3.
▶ 3. Un expert a estimé qu'il faut dans cette maison une puissance électrique de 925 watts pour chauffer 25 mètres cubes.
Le propriétaire de la maison décide d'acheter des radiateurs qui ont une puissance de 1 800 watts chacun et qui coûtent 349,90 € pièce.
Combien va-t-il devoir dépenser pour l'achat des radiateurs ?
Les clés du sujet
Points du programme
Aire d'un rectangle • Volumes usuels (pavé droit/pyramide) • Opérations de base • Proportionnalité.
Nos coups de pouce
▶ 1. Appliquer la formule donnant l'aire d'un rectangle (voir formulaire).
▶ 2. a) Appliquer la formule donnant le volume d'un pavé droit (voir formulaire).
b) Remarquer que le volume des chambres est égal à la différence du volume de deux pyramides.
Corrigé
▶ 1. Notons A la surface au sol de la maison.
Cette surface au sol est rectangulaire, donc :
, soit 
ou encore 
.
▶ 2. a) Notons 
le volume de la partie principale de la maison.
Cette partie principale est un pavé droit, donc :
ou encore 
.
b) Notons 
le volume des chambres.
Notons 
et 
les volumes respectifs des pyramides IABCD et IRTSM.
, 
soit 
.
.
La pyramide IRTSM est une réduction de la pyramide IABCD dans le rapport 
soit 
.
Donc Aire (RTSM) = 
Aire (ABCD).
ou encore 
.
soit 
.
c) Notons 
le volume à chauffer.
soit 
.
Attention !
Le nombre de radiateurs qu'il convient d'acheter est nécessairement un nombre entier !
▶ 3. Notons 
la puissance électrique nécessaire pour chauffer la maison.
Utilisons le tableau de proportionnalité suivant :
| Puissance électrique | 925 W | P en W |
| Volume à chauffer | 25 m3 | 495 m3 |
soit 
Notons 
le nombre de radiateurs nécessaires : 
.
Conclusion : il faudra acheter 11 radiateurs.
Notons 
le montant de la dépense à effectuer pour l'achat des radiateurs : 
.
Conclusion : le montant de la dépense sera de 3 848,90 euros.