Annale corrigée Exercice Ancien programme

Choisir un abonnement téléphonique

 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Choisir un abonnement téléphonique
 
 

Matrices et suites

Corrigé

42

Ens. de spécialité

matT_1306_13_11C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année après 2013, et bn le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la n-ième année après 2013.

Ainsi, a0 = 300 et b0 = 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel

On considère les matrices et .

Pour tout entier naturel n, on note Un la matrice .

> 1. a) Déterminer U1.

b) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+ 1 = M × Un + P.

> 2. On note I la matrice .

a) Calculer .

b) En déduire que la matrice IM est inversible et préciser son inverse.

c) Déterminer la matrice U telle que U = M × U + P.

> 3. Pour tout entier naturel n, on pose Vn =UnU.

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1=M × Vn.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn =Mn × V0.

> 4. On admet que, pour tout entier naturel n,

.

a) Pour tout entier naturel n, exprimer Un en fonction de n et en déduire la limite de la suite (an).

b) Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence E1 3. b)
  • Suites et limites E2c4. a)
  • Suites géométriques et limites E4d4. a)

Calculatrice

Calculs sur les matrices C5 2. a) et 2. c)

Nos coups de pouce

> 2.b) Utilisez le rappel suivant : une matrice carrée A d'ordre 2 est inversible s'il existe une matrice carrée B d'ordre 2 telle que , I désignant la matrice identité d'ordre 2.

> 2.c) Exprimez P en fonction de U. Utilisez le fait que la matrice est inversible. Concluez par un produit matriciel.

> 4.b) Interprétez la limite de la question 4. a) : dire que n tend vers signifie que nous considérons la situation du nombre d'abonnés de l'opérateur A au bout d'un nombre conséquent d'années. N'oubliez pas que le nombre d'abonnés est exprimé en milliers.

> 1.a) Déterminer une matrice

b) Vérifier une égalité matricielle

Pour tout entier naturel n :

.

Par suite :

On a donc, pour tout entier naturel n :

.

> 2.a) Calculer un produit de matrices

Par conséquent :

b) Déterminer l'inverse d'une matrice

D'après la question précédente, .

Or I est la matrice identité d'ordre 2. Par définition, la matrice IM est donc inversible et .

c) Résoudre une équation matricielle

Dans cette dernière égalité, en multipliant à gauche par la matrice inverse de la matrice I – M, on obtient :

Ainsi :

> 3.a) Justifier une relation matricielle

Pour tout entier naturel n :

b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : par convention, . Ainsi donc la propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité : on suppose que P(k) est vraie pour un entier naturel k. On démontre que P(k + 1) est aussi vérifiée.

.

La propriété est vraie au rang k + 1 : elle est donc héréditaire.

Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

> 4.a) Déterminer une matrice et la limite d'une suite

Pour tout entier naturel n, .

Ainsi :

Par identification, pour tout entier naturel n :

.

Or et , donc

et.

Par produits et somme, on en déduit que

.

b) Donner une interprétation concrète d'une limite

Comme , on peut estimer qu'à long terme le nombre d'abonnés de l'opérateur A se stabilisera à 380 000.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner