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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
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Matrices et suites

Corrigé

42

Ens. de spécialité

matT_1306_13_11C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la n-ième année après 2013, et bn le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la n-ième année après 2013.

Ainsi, a0= 300 et b0= 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel

On considère les matrices et .

Pour tout entier naturel n, on note Un la matrice .

>1.a) Déterminer U1.

b) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+ 1 = M × Un + P.

>2. On note I la matrice .

a) Calculer .

b) En déduire que la matrice IM est inversible et préciser son inverse.

c) Déterminer la matrice U telle que U = M × U + P.

>3. Pour tout entier naturel n, on pose Vn=UnU.

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1=M × Vn.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn=Mn × V0.

>4. On admet que, pour tout entier naturel n,

.

a) Pour tout entier naturel n, exprimer Un en fonction de n et en déduire la limite de la suite (an).

b) Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1 3. b)
  • Suites et limites  E2c  → 4. a)
  • Suites géométriques et limites  E4d  → 4. a)

Calculatrice

Calculs sur les matrices  C5 2. a) et 2. c)

Nos coups de pouce

>2.b) Utilisez le rappel suivant : une matrice carrée A d’ordre 2 est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre 2 telle que , I désignant la matrice identité d’ordre 2.

>2.c) Exprimez P en fonction de U. Utilisez le fait que la matrice est inversible. Concluez par un produit matriciel.

>4.b) Interprétez la limite de la question 4. a) : dire que n tend vers signifie que nous considérons la situation du nombre d’abonnés de l’opérateur A au bout d’un nombre conséquent d’années. N’oubliez pas que le nombre d’abonnés est exprimé en milliers.

Corrigé

>1.a) Déterminer une matrice

b) Vérifier une égalité matricielle

Pour tout entier naturel n :

.

Par suite :

On a donc, pour tout entier naturel n :

.

>2.a) Calculer un produit de matrices

Par conséquent :

b) Déterminer l’inverse d’une matrice

D’après la question précédente, .

Or I est la matrice identité d’ordre 2. Par définition, la matrice IM est donc inversible et .

c) Résoudre une équation matricielle

Dans cette dernière égalité, en multipliant à gauche par la matrice inverse de la matrice I – M, on obtient :

Ainsi :

>3.a) Justifier une relation matricielle

Pour tout entier naturel n :

b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : par convention, . Ainsi donc la propriété est vraie pour n= 0.

Hérédité : on suppose que P(k) est vraie pour un entier naturel k. On démontre que P(k+ 1) est aussi vérifiée.

.

La propriété est vraie au rang k+ 1 : elle est donc héréditaire.

Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

>4.a) Déterminer une matrice et la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n, .

Ainsi :

Par identification, pour tout entier naturel n :

.

Or et , donc

et.

Par produits et somme, on en déduit que

.

b) Donner une interprétation concrète d’une limite

Comme , on peut estimer qu’à long terme le nombre d’abonnés de l’opérateur A se stabilisera à 380 000.