Choix pour l’entretien de piscines

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 3 • 5 points

Choix pour l’entretien de piscines

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

C’est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n’ont que deux choix possibles : soit ils s’occupent eux-mêmes de l’entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l’entreprise PiscinePlus.

On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année :

12 % des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l’entreprise PiscinePlus ;

20 % de particuliers sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets C et L où :

C est l’événement « Le particulier est sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus » ;

L est l’événement « Le particulier effectue lui-même l’entretien de sa piscine ».

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel n :

cn la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n ;

ln la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l’année 2015 + n.

On note Pn = (anbn) la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2015 + n.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’entreprise PiscinePlus atteindra l’objectif d’avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d’entretien.

partie a

1. Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l’ordre C et L. (0,75 point)

2. a) Montrer que l’état stable de ce graphe est P=(0,375  0,625) (0,75 point)

b) Déterminer, en justifiant, si l’entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

partie b

En 2015, on sait que 15 % des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus. On a ainsi P0=(0,15  0,85).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

cn+1 = 0,68 cn + 0,12. (0,5 point)

2. À l’aide d’un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d’années l’entreprise PiscinePlus atteindra son objectif.

L1

L2

L3

L4

L5

Variables :

Traitement :

n est un nombre entier naturel

C est un nombre réel

Affecter à n la valeur 0

Affecter à C la valeur 0,15

Tant que C < 0,35 faire

L6

L7

n prend la valeur n + 1

C prend la valeur 0,68 C + 0,12

L8

L9

Sortie :

Fin Tant que

Afficher n

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième. (0,75 point)

Valeur de n

0

Valeur de C

0,15

b) Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. (0,25 point)

3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

cn+1=0,68 cn+0,12

et que c0=0,15.

On pose, pour tout entier naturel n, vn=cn0,375.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (0,75 point)

On admet que, pour tout entier naturel n, on a :

cn=0,225×0,65n+0,375.

b) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation cn0,35. (0,5 point)

c) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1. La matrice de transition est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

2. a) L’état stable est représenté par l’unique matrice ligne P dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que PM = M, où M est la matrice de transition associée au graphe.

2. b) Utilisez l’état stable étudié à la question précédente.

Partie B

1. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel n, cn+ln=1.

2. a) L’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que C  0,35.

2. b) Utilisez la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste et donner la matrice de transition associée

La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet C du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de L.

matT_1605_09_00C_05

La matrice de transition associée est :

M=(0,80,20,120,88).

2. a) Vérifier qu’une matrice ligne donnée est l’état stable d’un graphe probabiliste

0,375+0,625=1 ; la somme des deux coefficients de la matrice ligne P est égale à 1.

PM=(0,375  0,625) (0,80,20,120,88)

PM=(0,8×0,375+0,12×0,625  0,2×0,375+0,88×00,625)

PM=(0,375 0,625)

PM=P.

P est une matrice ligne dont les deux coefficients sont compris entre 0 et 1 et ont une somme égale à 1 ; P vérifie d’autre part PM = P.

Donc P est l’état stable du graphe probabiliste.

b) Déterminer si une entreprise atteindra l’objectif qu’elle s’est fixé

Puisque P=(0,3750,625) est l’état stable du graphe probabiliste, à long terme, le pourcentage de particuliers souscrivant un contrat d’entretien avec l’entreprise PiscinePlus parmi ceux possédant une piscine privée se rapprochera de 37,5 %.

L’entreprise PiscinePlus atteindra donc l’objectif d’avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d’entretien.

partie b

1. Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel n, Pn+1=MPn, c’est-à-dire :

(cn+1ln+1)=(cnln) (0,80,20,120,88)

{cn+1=0,8 cn+0,12 lnln+1=0,2 cn+0,88 ln

Or cn+ln=1, donc :

cn+1=0,8 cn+0,12(1cn)=0,8 cn+0,120,12 cn

cn+1=0,68 cn+0,12.

2. a) Construire un tableau d’étapes d’un algorithme

La réalisation de l’algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

6

Valeur de C

0,15

0,222

0,271

0,304

0,327

0,342

0,353

(toutes les valeurs ont été arrondies au millième.)

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l’algorithme est 6.

Au bout de 6 ans, c’est-à-dire en 2021, le pourcentage de propriétaires de piscines clients sous contrat d’entretien de l’entreprise PiscinePlus dépassera pour la première fois 35 %.

L’entreprise devrait donc atteindre son objectif en 2021.

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=cn+10,375=0,68 cn+0,12 0,375=0,68 (vn+0,375)+0,120,375vn+1=0,68 vn+0,68×0,375+0,120,375.

Donc pour tout entier naturel n :

vn+1=0,68 vn.

La suite (vn) est géométrique de raison 0,68 ; son premier terme est :

v0=c00,375=0,225.

b) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

cn0,350,225×0,68n+0,3750,35

cn0,350,225×0,68n0,025

cn0,350,68n0,0250,225.

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur ]0;+[ ; l’ordre est conservé, d’où :

nln(0,68)ln(0,0250,225).

ln(0,68)<0 car 0<0,68<1, donc l’inéquation équivaut à :

nln(0,0250,225)ln(0,68).

Or ln(0,0250,225)ln(0,68)5,7, donc dans l’ensemble des entiers naturels, l’inéquation cn0,35 équivaut à :

n6.

c) Donner une interprétation de l’ensemble des solutions d’une inéquation

On retrouve à la question précédente le résultat obtenu à la question 2. b) grâce à l’algorithme : à partir de 6 ans (après 2015), le pourcentage de propriétaires de piscines clients sous contrat d’entretien de l’entreprise PiscinePlus dépassera 35 %.