Chute d'une goutte d'eau

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Chute d’une goutte d’eau

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Fonction logarithme • Calcul intégral

 

On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m  s–1, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute t est donnée par la fonction v définie ainsi : pour tout réel positif ou nul t, v(t)=9,81mk(1ekm t) ; la constante m est la masse de la goutte en milligrammes et la constante k est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a : cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.

2. La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?

3. Montrer que limt+v(t)=9,81mk. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.

4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à 5mk, la vitesse de la goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?

partie b

Dans cette partie, on prend m = 6 et k = 3,9.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m  s–1.

1. Depuis combien de temps la goutte s’est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.

2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m  s–1.

Les clés du sujet

Partie B

1. Pensez à résoudre l’équation v( t ) = 15 en utilisant les valeurs m = 6 et k = 3,9 fournies.