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Chute d'une goutte d'eau

Polynésie française • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Chute d'une goutte d'eau

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Fonction logarithme • Calcul intégral

 

On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d'établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m  s–1, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute t est donnée par la fonction v définie ainsi : pour tout réel positif ou nul t, v(t)=9,81mk(1ekm t)  la constante m est la masse de la goutte en milligrammes et la constante k est un coefficient strictement positif lié au frottement de l'air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a : cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d'eau.

2. La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?

3. Montrer que limt+v(t)=9,81mk. Cette limite s'appelle vitesse limite de la goutte.

4. Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à 5mk, la vitesse de la goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?

partie b

Dans cette partie, on prend m = 6 et k = 3,9.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m  s–1.

1. Depuis combien de temps la goutte s'est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.

2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m  s–1.

Les clés du sujet

Partie B

1. Pensez à résoudre l'équation v( t ) = 15 en utilisant les valeurs m = 6 et k = 3,9 fournies.

Corrigé

partie a

1. Étudier les variations d'une fonction  E6d • E8d • E8e 

La fonction tkmt est une fonction affine dérivable sur [0+[. La fonction exponentielle est dérivable sur . Par composition, la fonction u:tekmt est dérivable sur [0+[. La fonction affine x9,81mk(1x) est dérivable sur . Par composition avec la fonction u, nous en déduisons que la fonction v:t9,81mk(1ekmt) est dérivable sur [0+[.

notez bien !

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tout t[0+[ : v(t)=9,81×mk×((km)×ekmt)=9,81ekmt. Puisque, pour tout t[0+[, ekmt>0, nous en déduisons que v(t)> 0 sur [0+[ et que v est strictement croissante sur [0+[.

La vitesse de la goutte d'eau est une fonction strictement croissante sur [0+[.

2. Exploiter les variations d'une fonction

D'après la question précédente, la vitesse v de la goutte d'eau est une fonction strictement croissante sur [0+[. Autrement dit, si le temps augmente, alors la vitesse de la goutte augmente.

La goutte ne ralentit donc pas au cours de sa chute.

3. Calculer une limite  E5a • E5b 

Puisque limt+kmt= et limXeX=0, alors, par composition, limt+ekmt=0. Par différence et produit, nous obtenons : limt+v(t)=limt+9,81mk(1ekmt)=9,81mk(10)=9,81mk.

4. Étudier la cohérence d'une affirmation

Pour une durée de chute égale à t=5mk, nous avons :

v(t)=9,81mk(1ekm×5mk)=9,81mkvitesse limite×(1e5)0,9932.

Pour t=5mk, la vitesse de la goutte valant environ 99,32 % de sa vitesse limite, elle dépasse 99 % de sa vitesse limite.

L'affirmation du scientifique est donc correcte.

Partie B

1. Déterminer le temps de chute d'une goutte  E9a • E9e 

La vitesse instantanée de la goutte est de 15 m  s–1. Nous avons donc v(t= 15.

En prenant m = 6 et k = 3,9, nous obtenons :

notez bien !

Pour tous réels a > 0 et b > 0 : a=bln(a)=ln(b).

Pour tout réel c : ln(ec)=c.

v(t)=159,81×63,9×(1e3,96×t)=151e0,65t=15×3,99,81×6=325327e0,65t=23270,65t=ln(2327)t=10,65ln(2327).

Nous obtenons à la calculatrice t 7,8 s.

La goutte s'est donc détachée de son nuage depuis 7,8 s si sa vitesse instantanée mesurée est de 15 m  s–1.

2. Calculer une vitesse moyenne  E11c • E13• E15a • E15d 

La vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant t où on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m  s–1 est donnée par : vm=17,8007,8v(t)dt.

retenez bien !

Une primitive sur [07,8] de la fonction tekmt est tmkekmt.

vm=17,8×07,89,81mk(1ekmt)dt=17,8×9,81×mk×07,8(1ekmt)dt(linéarité)=327169×07,8(1e0,65t)dt(m=6etk=3,9)=327169[t+63,9e0,65t]07,8=327169[(7,8+63,9e0,65×7,8)(0+63,9e0)]=327169(7,8+63,9e5,0763,9)12,1.

La vitesse moyenne de la goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où l'on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m  s–1 est d'environ 12,1 m  s–1.

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