Clientèle d’une pizzeria et pourboires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Clientèle d’une pizzeria et pourboires

Conditionnement

matT_1405_09_11C

Ens. spécifique

24

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 1 • 5 points

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu’en moyenne, 40 % des clients sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont des couples.

Il note aussi que :

  • 70 % des familles laissent un pourboire ;
  • 90 % des personnes seules laissent un pourboire ;
  • 40 % des couples laissent un pourboire.

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.

On s’intéresse aux événements suivants :

F : « la table est occupée par une famille »

S : « la table est occupée par une personne seule »

C : « la table est occupée par un couple »

R : « le serveur reçoit un pourboire »

On note l’événement contraire de A et la probabilité de A, sachant B.

Partie A

>1. D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités (F) et . (0,5 point)

>2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : (1 point)


 

>3. a) Calculer . (0,5 point)

b) Déterminer . (0,5 point)

>4. Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d’un couple. Le résultat sera arrondi à . (0,5 point)

Partie B

On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur.

On admet que X suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à .

>1. Calculer :

a) la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros ; (0,5 point)

b)(0,5 point)

>2. Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros. (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Chaque table a la même probabilité d’être choisie, donc la probabilité de l’événement F est égale à la proportion de familles dans la clientèle de la pizzeria.

>3. b) Les événements F, S et C forment une partition de l’univers.

>4. Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie B

>2. Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle et les résultats des questions précédentes.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Déduire deux probabilités des données de l’énoncé

40 % des clients sont des familles, d’où :

90 % des personnes seules laissent un pourboire, d’où :

>2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre ci-dessous :


 

>3. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Attention !

Ce nombre est la probabilité que la table choisie soit celle d’une famille qui laisse un pourboire.

D’après l’arbre :

=

=

b) Calculer une probabilité en utilisant une partition de l’univers

Notez bien

La clientèle de la pizzeria se répartit en trois catégories n’ayant pas d’élément commun : les familles, les personnes seules, les couples.

F, C et S constituent une partition de l’univers, d’où :

=.

Notez bien

64,5 % des clients laissent un pourboire.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle, étant non nulle :

.

Partie B

>1. a) Calculer une probabilité associée à une loi normale

Info

Ce résultat pouvait être obtenu sans calculatrice. En effet, et .

D’après le cours, si X suit la normale d’espérance et d’écart-type , alors :

.

La probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros est .

D’après la calculatrice et en arrondissant à  :

b) Calculer une probabilité associée à une loi normale

Puisque X suit une loi normale d’espérance 15, .

Donc .

Or d’après la calculatrice, , donc :

>2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une loi normale

Soit A l’événement « le montant des pourboires est compris entre 6 et 24 euros » et B l’événement « le montant des pourboires est supérieur à 20 euros ».

La probabilité cherchée est , qui est égale à .

Or d’après la question 1. a).

est l’événement « le pourboire est compris entre 6 et 24 euros et supérieur à 20 euros », donc est l’événement « le pourboire est compris entre 20 et 24 euros ».

D’après la calculatrice, , d’où :