Codage et décodage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 3 • 5 points

Codage et décodage

Partie A

On considère les matrices M de la forme M=(a   b5   3)a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).

Ainsi det(M ) = 3a − 5b.

▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose N=1det(M)(3   b5   a).

Justifier que N est l’inverse de M.

▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.

On souhaite déterminer tous les couples d’entiers ( b) solutions de l’équation (E).

a) Vérifier que le couple (6  3) est une solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers ( b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).

c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

▶ 1. On pose Q=(6   35   3).

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

▶ 2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q=(6   35   3), on utilise la procédure ci-après.

Étape 1. On associe au mot la matrice X=(x1x2)x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice Y=(y1y2) telle que = QX.

Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice R=(r1r2) telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4. À la matrice R=(r1r2) on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : JEX=(94)Y=(6657)R=(145)OF

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

▶ 3. Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que = QX.

a) Démontrer que 3= 3Q−1Y puis que {3x13r13r2[26]3x25r1+6r2[26].

b) En remarquant que 9 × 3 1 [26], montrer que {x1r1r2[26]x27r1+2r2[26].

c) Décoder le mot SG.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5  Partie A, 1.  Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. c) Déterminez les couples possibles avec le théorème de Gauss. N’oubliez pas la réciproque dans votre raisonnement et vérifiez bien que les couples trouvés vérifient l’équation (E).