Partie A

On considère les matrices M de la forme $M=\left(\begin{array}{l}ab\\ 5\text{ 3}\end{array}\right)$ où a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).

Ainsi det(M ) = 3a − 5b.

▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose $N=\frac{1}{\det (M)}\left(\begin{array}{l}3-b\\ -5a\end{array}\right)$.

Justifier que N est l’inverse de M.

▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.

On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a  b) solutions de l’équation (E).

a) Vérifier que le couple (6  3) est une solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (a  b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).

c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

▶ 1. On pose $Q=\left(\begin{array}{l}6\text{ 3}\\ 5\text{ 3}\end{array}\right)$.

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

▶ 2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q=\left(\begin{array}{l}6\text{ 3}\\ 5\text{ 3}\end{array}\right)$, on utilise la procédure ci-après.

Étape 1. On associe au mot la matrice $X=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :

Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice $Y=\left(\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$ telle que Y = QX.

Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice $R=\left(\begin{array}{l}{r}_1\\ r_2\end{array}\right)$ telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4. À la matrice $R=\left(\begin{array}{l}{r}_1\\ r_2\end{array}\right)$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : $\text{JE}\to X=\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)\to Y=\left(\begin{array}{c}66\\ 57\end{array}\right)\to R=\left(\begin{array}{c}14\\ 5\end{array}\right)\to \text{OF}$

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

▶ 3. Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.

a) Démontrer que 3X = 3Q−1Y puis que $\{\begin{array}{l}3x_1\equiv 3r_1-3r_2\left[26\right]\\ 3x_2\equiv -5r_1+6r_2\left[26\right]\end{array}$.

b) En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que $\{\begin{array}{l}{x}_1\equiv r_1-r_2\left[26\right]\\ x_2\equiv 7r_1+2r_2\left[26\right]\end{array}$.

c) Décoder le mot SG.