Codage et décodage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 3 • 5 points

Codage et décodage

Partie A

On considère les matrices M de la forme M=(a   b5   3)a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).

Ainsi det(M ) = 3a − 5b.

▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose N=1det(M)(3   b5   a).

Justifier que N est l’inverse de M.

▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.

On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (; b) solutions de l’équation (E).

a) Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (; b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).

c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

▶ 1. On pose Q=(6   35   3).

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

▶ 2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q=(6   35   3), on utilise la procédure ci-après.

Étape 1. On associe au mot la matrice X=(x1x2)x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice Y=(y1y2) telle que = QX.

Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice R=(r1r2) telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4. À la matrice R=(r1r2) on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : JEX=(94)Y=(6657)R=(145)OF

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

▶ 3. Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que = QX.

a) Démontrer que 3= 3Q−1Y puis que {3x13r13r2[26]3x25r1+6r2[26].

b) En remarquant que 9 × 3 1 [26], montrer que {x1r1r2[26]x27r1+2r2[26].

c) Décoder le mot SG.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5  Partie A, 1. ; Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. c) Déterminez les couples possibles avec le théorème de Gauss. N’oubliez pas la réciproque dans votre raisonnement et vérifiez bien que les couples trouvés vérifient l’équation (E).

Corrigé

Corrigé

partie a

▶ 1. Identifier l’inverse d’une matrice

Notez bien

Pour deux matrices carrées M et Nde même ordre, si N×M=I2 alorsM×N=I2 et M est inversible, d’inverse la matrice N.

Calculons le produit N×M.

N×M=1det(M)(3   b 5   a)×(a   b5   3)=13a5b(3a5b   3b3b5a+5a   5b+3a)=(3a5b3a5b   03a5b03a5b   3a5b3a5b)=(1   00   1)=I2.

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice M est donc inversible et M1=N.

▶ 2. a) Identifier une solution d’une équation

Nous avons det(M)=33a5b=3. Or 3×65×3=1815=3.

Par conséquent, le couple (6 ; 3) est bien solution de l’équation (E) : det(M)=3.

b) Établir une équivalence

(a ; b) est solution de(E)3a5b=33a5b=3×65×33a3×6=5b5×33(a6)=5(b3).

c) Résoudre une équation diophantienne

Notez bien

Théorème de Gauss : Soit a, b et c. Si a divise bc et si ab=1, alors adivise c.

D’après la question A 2. b), (a ; b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a6)=5(b3).

Comme 3 et 5 sont premiers entre eux et que 3 divise 5(b3), alors 3 divise (b3).

Il existe donc k tel que b3=3k.

Comme 3(a6)=5(b3), cela donne 3(a6)=5×3ka6=5k.

Ainsi, si (a ; b) est solution de (E), alors (a ; b) =(6+5k ; 3+3k)k.

Réciproquement, vérifions que les couples précédents sont bien solutions de l’équation (E) :

3a5b=3×(6+5k)5(3+3k)=18+15k1515k=3.

Donc les couples (a ; b) =(6+5k ; 3+3k)k sont bien solutions de l’équation (E).

Les solutions de l’équation (E) sont les couples (a ; b) =(6+5k ; 3+3k)k.

partie b

▶ 1. Déterminer l’inverse d’une matrice

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice Q est de la forme (ab53) avec a = 6 et b = 3.

Comme det(Q)=3a5b=3×65×3=30, d’après la question A 1., l’inverse de la matrice Q est :

Q1=1det(Q)(3b5a)=13×(3b5a)=13×(3356).

▶ 2. Coder un mot

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Le mot DO est associé à la matrice X=(314). Cette matrice est transformée en la matrice Y :

Y=QX=(6353)×(314)=(6×3+3×145×3+3×14)=(6057)=(y1y2).

Puisque y1=60=26×2+88r1  [26] et y2=57=26×2+55r2  [26], la matrice Y est transformée en la matrice R=(r1r2)=(85).

À cette matrice R est associé le mot IF.

Finalement, le mot DO est codé en le mot IF.

▶ 3. a) Établir un système d’équations

La matrice Q étant inversible, nous avons les équivalences suivantes :

Y=QXQ1Y=Q1(QX)=(Q1Q)X=I2X=X3Q1Y=3X.

Traduisons la dernière égalité ci-dessus en effectuant les produits matriciels :

3X=3×(x1x2)=(3x13x2) et 3Q1Y=3×13×(3356)question B1.×(y1y2)=(3356)×(y1y2)=(3y13y25y1+6y2).

Par conséquent :

3X=3Q1Y(3x13x2)=(3y13y25y1+6y2){3x1=3y13y23x2=5y1+6y2.

En notant y1r1  [26] et y2r2  [26], nous obtenons alors :

{3x1=3y13y23x2=5y1+6y2{3x13r13r2  [26]3x25r1+6r2  [26].

b) Simplifier les équations d’un système

Notons tout d’abord que 9×3=271  [26]. Transformons alors le système précédent en multipliant chaque équation par 9 :

Notez bien

Soit a, b et k. Si ab[26] alors kakb[26].

{3x13r13r2  [26]3x25r1+6r2  [26]{9×3x19×3r19×3r2  [26]9×3x29×5r1+9×6r2  [26]{x1r1r2  [26]x245r1+54r2  [26]{x1r1r2  [26]x27r1+2r2  [26] 

Notez bien

45=726×27  [26] et 54=26×2+22  [26].

c) Décoder un mot

Le mot SG est codé par la matrice R=(r1r2)=(186).

Comme {x1r1r2  [26]x27r1+2r2  [26] , nous obtenons : x1r1r2  [26]186  [26]12  [26] et x27r1+2r2  [26]7×18+2×6  [26]138  [26]8  [26].

Notez bien

138=26×5+8 donc 1388  [26].

La matrice X est donc X=(x1x2)=(128).

Lorsque l’on décode le mot SG, nous obtenons donc le mot MI.