Coder ou décoder un message

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Coder ou décoder un message

Arithmétique

matT_1406_01_02C

Ens. de spécialité

36

CORRIGE

Afrique • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Partie A : Préliminaires

>1. a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :

modulo N.

Montrer que : modulo N.

b) Déduire de la question précédente un entier k1 tel que :

modulo 26.

On admettra que l’unique entier k tel que et

modulo 26 vaut 21.

>2. On donne les matrices , , , et .

a) Calculer la matrice 6A &minus A2.

b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A&minus 1, peut s’écrire sous la forme , où α et β sont deux réels que l’on déterminera.

c) Vérifier que B=5A&ndash 1.

d) Démontrer que si AX=Y, alors 5X=BY.

Partie B : Procédure de codage

Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice x1 est l’entier représentant la première lettre du mot et x2 l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

 
  • La matrice X est transformée en la matrice telle que Y=AX.
  • La matrice Y est transformée en la matrice ,r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
  • Les entiers r1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : « OU » (mot à coder) « YE » (mot codé).

Partie C : procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice telle que Y=AX.

>1. Démontrer que .

>2. En utilisant la question 1. b) de la partie A, établir que :

modulo 26.

>3. Décoder le mot « QP ».

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Congruences • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calculs sur les matrices  C5  → Partie A, 2. a), 2. c)Partie B

Nos coups de pouce

Partie A

>1. b) Pensez à exploiter la question 1. a) en choisissant des valeurs appropriées pour et .

>2. b) N’oubliez pas qu’une matrice est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre 2 telle que .