Annale corrigée Exercice Ancien programme

Coder ou décoder un message

Corpus Corpus 1
Coder ou décoder un message

Arithmétique

matT_1406_01_02C

Ens. de spécialité

36

CORRIGE

Afrique • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Partie A : Préliminaires

>1. a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :

modulo N.

Montrer que : modulo N.

b) Déduire de la question précédente un entier k1 tel que :

modulo 26.

On admettra que l'unique entier k tel que et

modulo 26 vaut 21.

>2. On donne les matrices , , , et .

a) Calculer la matrice 6A − A2.

b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A−1, peut s'écrire sous la forme , où α et β sont deux réels que l'on déterminera.

c) Vérifier que B =5A–1.

d) Démontrer que si AX =Y, alors 5X =BY.

Partie B : Procédure de codage

Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice où x1 est l'entier représentant la première lettre du mot et x2 l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12
 

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25
 
  • La matrice X est transformée en la matrice telle que Y =AX.
  • La matrice Y est transformée en la matrice , où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
  • Les entiers r1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : « OU » (mot à coder) « YE » (mot codé).

Partie C : procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice telle que Y =AX.

>1. Démontrer que .

>2. En utilisant la question 1. b) de la partie A, établir que :

modulo 26.

>3. Décoder le mot « QP ».

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Congruences • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Calculatrice

Calculs sur les matrices C5 → Partie A, 2. a), 2. c) Partie B

Nos coups de pouce

Partie A

>1. b) Pensez à exploiter la question 1. a) en choisissant des valeurs appropriées pour et .

>2. b) N'oubliez pas qu'une matrice est inversible s'il existe une matrice carrée B d'ordre 2 telle que .

Corrigé

Dans le but d'alléger les notations, nous privilégierons l'écriture pour traduire que a est congru à b modulo n.

partie a : préliminaires

>1. a) Établir une relation de congruence

Notez bien

et .

D'après l'énoncé, . On en déduit donc que :

b) Déterminer une solution d'une équation modulo 26

Prenons et . Nous avons .

D'après la question précédente, nous en déduisons que ce que l'on peut encore écrire .

Un entier tel que est donc .

>2. a) Effectuer un calcul matriciel

Calculons tout d'abord .

Conseil

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice C5 .

Ensuite :

Nous obtenons donc .

b) Déterminer l'inverse d'une matrice

.

La matriceest donc inversible et.

Les nombres et cherchés sont et.

c) Vérifier une égalité matricielle

d) Démontrer une implication

Remarque

Toute la démonstration ci-contre reste valable si l'on raisonne avec des équivalences.

Finalement .

partie b : procédure de codage

  • Le mot « ET » est remplacé par .
  • La matrice est transformée en avec :

.

  • La matrice est transformée en :

est le reste de la division euclidienne de 35 par 26 or , donc

est le reste de la division euclidienne de 50 par 26 or , donc .

La matrice est donc transformée en .

  • La matrice correspond au mot « JY ».

En résumé :

partie c : procédure de décodage

>1. Transformer un système d'équations

D'après la question A 2. d), on sait que .

Or :

.

>2. Établir un système de congruences

Il a été admis dans la question A 1. b) que l'unique entier tel que et est 21.

Avec la question précédente, on a :

équivalent à :

Notez bien

.

ce qui implique que :

d'où :

>3. Décoder un mot

Le mot « QP » peut être traduit par Déterminons la matrice .

On sait, d'après l'énoncé, que et .

D'après la question précédente, on peut donc écrire :

soit encore et .

On obtient donc qui donne lemot décodé « TS ».

Vérification :

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