Arithmétique
matT_1406_01_02C
Ens. de spécialité
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CORRIGE
Afrique • Juin 2014
Exercice 4 • 5 points
Partie A : Préliminaires
, où α et β sont deux réels que l'on déterminera.
Partie B : Procédure de codage
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
- La matrice X est transformée en la matrice
telle que Y
= AX. - La matrice Y est transformée en la matrice
, où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
- Les entiers r1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.
Partie C : procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Congruences • Matrices.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Calculatrice
Calculs sur les matrices
Nos coups de pouce
Partie A
Dans le but d'alléger les notations, nous privilégierons l'écriture pour traduire que
partie a : préliminaires
> 1. a) Établir une relation de congruence
b) Déterminer une solution d'une équation modulo 26
> 2. a) Effectuer un calcul matriciel
Conseil
Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice
b) Déterminer l'inverse d'une matrice
c) Vérifier une égalité matricielle
d) Démontrer une implication
Remarque
Toute la démonstration ci-contre reste valable si l'on raisonne avec des équivalences.
partie b : procédure de codage
est le reste de la division euclidienne de 35 par 26 or
, donc
est le reste de la division euclidienne de 50 par 26 or
, donc
.
La matrice est donc transformée en
.
En résumé :
partie c : procédure de décodage
> 1. Transformer un système d'équations
> 2. Établir un système de congruences
Il a été admis dans la question tel que
et
est 21.
Avec la question précédente, on a :
équivalent à :