Codons et décodons

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Codons et décodons

Les thèmes clés

Arithmétique

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant.

À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

On choisit deux entiers a et b compris entre 0 et 25.

Tout nombre entier n compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de an + b par 26.

Le tableau suivant donne les fréquences f en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.

Lettre

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

f

9,42

1,02

2,64

3,38

15,87

0,94

1,04

0,77

8,41

0,89

0,00

5,33

3,23

Lettre

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

f

7,14

5,13

2,86

1,06

6,46

7,90

7,26

6,24

2,15

0,00

0,30

0,24

0,32

partie a

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E.

On souhaite déterminer les nombres a et b qui ont permis le codage.

1. Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?

2. Montrer que les entiers a et b sont solutions du système :

{4a+b14 [26]b4 [26].

3. Déterminer tous les couples entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte.

partie b

1. On choisit a = 22 et b = 4.

a) Coder les lettres K et X.

b) Ce codage est-il envisageable ?

2. On choisit a = 9 et b = 4.

a) Montrer que pour tous entiers naturels n et m, on a :

m9n+4 [26]n3m+14 [26].

b) Décoder le mot AQ.

Les clés du sujet

Partie A

2. Suivez le procédé de cryptage donné dans l’énoncé à partir des lettres codées respectivement en O et en E (question 1.).

3. Résolvez le système d’équations de la question 2.

Partie B

1. a) Suivez encore une fois le procédé de cryptage, mais cette fois-ci pour les lettres K et X.

2. b) Utilisez la question 2. a) en remarquant que l’entier n est l’entier associé à la lettre à coder et que l’entier m est l’entier associé à la lettre codée.