Corrigé

partie a

▶ 1. Extraire des informations d'un tableau

Dans le texte codé, on a constaté 15,9 % de lettres O. La fréquence la plus proche dans le tableau donnant les fréquences en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français (non codé) est 15,87 %. Cette fréquence correspond à la lettre E.

Ainsi, la lettre E a été codée par la lettre O.

Similairement, dans le texte codé, on a constaté 9,4 % de lettres E. La fréquence la plus proche dans le tableau évoqué précédemment est 9,42 % correspondant à la lettre A.

Ainsi, la lettre A a été codée par la lettre E.

▶ 2. Justifier un système d'équations

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre E l'entier 4. Ensuite, on effectue la division euclidienne de a × 4 + b, soit 4a + b par 26. Par cette division euclidienne, il existe un unique couple d'entiers naturels (q  r) tel que 4a + b = 26 × q + r où 0 ≤ r ≤ 25. Or, d'après la question précédente, la lettre E est codée par la lettre O qui est associée à l'entier naturel 14 (d'après le tableau de l'énoncé), ainsi r = 14. On a alors 4a + b = 26 × q + 14 ce qui s'écrit aussi 4a + b ≡ 14 [26].

Similairement, on associe à la lettre A l'entier 0. D'après la question précédente, cette lettre est codée par la lettre E associée à l'entier 4. Il existe alors un entier naturel q′ tel que a × 0 + b = 26 × q′ + 4. Ainsi, on a b = 26 × q′ + 4 ce qui s'écrit aussi b ≡ 4 [26].

Les entiers a et b sont donc solutions du système {4a+b≡14[26]b≡4[26].

▶ 3. Déterminer toutes les solutions d'un système d'équations

Résolvons le système suivant : {4a+b≡14[26]b≡4[26].

b ≡ 4 [26] signifie qu'il existe un entier k tel que b = 4 + 26k. Or, l'entier b doit être compris entre 0 et 25 et 0≤b≤25⇔0≤4+26k≤25⇔−4≤26k≤21⇔−213≤k≤2126.

Il existe un unique entier k qui vérifie −213≤k≤2126 : k = 0. On en conclut que : b = 4 + 26 × 0 = 4.

D'après le point précédent, on a 4a + b ≡ 14 [26]⇔ 4a + 4 ≡ 14 [26] ⇔ 4a ≡ 10 [26].

Le reste de la division euclidienne de 4a par 26 doit ainsi être égal à 10. Calculons ce reste pour tout entier naturel a compris entre 0 et 25 (contrainte donnée dans l'énoncé) :

L'entier a pourrait donc prendre les valeurs 9 et 22.

Les couples d'entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte sont (9, 4) et (22, 4).

partie b

▶ 1. a) Suivre une procédure

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre K l'entier 10. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 10 + 4 = 224 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 224 = 26 × 8 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre K est codée par la lettre Q.

De même, en suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre X l'entier 23. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 23 + 4 = 510 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 510 = 26 × 19 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre X est codée par la lettre Q.

b) Argumenter

D'après la question précédente, la lettre Q code à la fois les lettres K et X. Ces lettres une fois codées devenant indiscernables, un tel codage n'est pas envisageable.

▶ 2. a) Justifier une équivalence

On a pour tous entiers naturels n et m :

m≡9n+4[26]⇒3×m≡3×9n+3×4[26]⇒3m≡27n+12[26]⇒3m≡n+12[26]⇒3m−12≡n[26]⇒3m+14≡n[26]⇒n≡3m+14[26]

Réciproquement, pour tous entiers naturels n et m :

n≡3m+14[26]⇒9×n≡9×3m+9×14[26]⇒9n≡27m+126[26]⇒9n≡m+126[26]⇒9n−126≡m[26]⇒9n+4≡m[26]⇒m≡9n+4[26]

Ainsi, pour tous entiers naturels n et m, m≡9n+4[26]⇔n≡3m+14[26].

b) Prendre une initiative et argumenter

La lettre A est associée à l'entier 0 (m=0). D'après la question 2. a) de la partie B, on a :

0≡9n+4[26]⇔n≡3×0+14[26]⇔n≡14[26].

L'entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 14 qui est associé d'après le tableau à la lettre O.

La lettre Q est associée à l'entier 16 (m=16). D'après la question 2. a) de la partie B, on a :

16≡9n+4[26]⇔n≡3×16+14[26]⇔n≡62[26].

L'entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 10 qui est associé d'après le tableau à la lettre K.

Le mot AQ est décodé en le mot OK.