Les parties A et B sont indépendantes.

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant.

À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :

On choisit deux entiers a et b compris entre 0 et 25.

Tout nombre entier n compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de an + b par 26.

Le tableau suivant donne les fréquences f en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.

partie a

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E.

On souhaite déterminer les nombres a et b qui ont permis le codage.

▶ 1. Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?

▶ 2. Montrer que les entiers a et b sont solutions du système :

$\{\begin{array}{l}4a+b\equiv 14[26]\\ b\equiv 4[26].\end{array}$

▶ 3. Déterminer tous les couples entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte.

partie b

▶ 1. On choisit a = 22 et b = 4.

a) Coder les lettres K et X.

b) Ce codage est-il envisageable ?

▶ 2. On choisit a = 9 et b = 4.

a) Montrer que pour tous entiers naturels n et m, on a :

$m\equiv 9n+4[26]\iff n\equiv 3m+14[26]$.

b) Décoder le mot AQ.