Arithmétique
Ens. de spécialité
42
matT_1706_13_05C
Polynésie française • Juin 2017
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Codons et décodons
Les thèmes clés
Arithmétique
Les parties A et B sont indépendantes.
Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant.
À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
On choisit deux entiers a et b compris entre 0 et 25.
Tout nombre entier n compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de an + b par 26.
Le tableau suivant donne les fréquences f en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.
Lettre | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
f | 9,42 | 1,02 | 2,64 | 3,38 | 15,87 | 0,94 | 1,04 | 0,77 | 8,41 | 0,89 | 0,00 | 5,33 | 3,23 |
Lettre | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
f | 7,14 | 5,13 | 2,86 | 1,06 | 6,46 | 7,90 | 7,26 | 6,24 | 2,15 | 0,00 | 0,30 | 0,24 | 0,32 |
partie a
Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E.
On souhaite déterminer les nombres a et b qui ont permis le codage.
▶ 1. Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?
▶ 2. Montrer que les entiers a et b sont solutions du système :
▶ 3. Déterminer tous les couples entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte.
partie b
▶ 1. On choisit a = 22 et b = 4.
a) Coder les lettres K et X.
b) Ce codage est-il envisageable ?
▶ 2. On choisit a = 9 et b = 4.
a) Montrer que pour tous entiers naturels n et m, on a :
.
b) Décoder le mot AQ.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 2. Suivez le procédé de cryptage donné dans l’énoncé à partir des lettres codées respectivement en O et en E (question 1.).
▶ 3. Résolvez le système d’équations de la question 2.
Partie B
▶ 1. a) Suivez encore une fois le procédé de cryptage, mais cette fois-ci pour les lettres K et X.
▶ 2. b) Utilisez la question 2. a) en remarquant que l’entier n est l’entier associé à la lettre à coder et que l’entier m est l’entier associé à la lettre codée.