Colorant, solvant et détergent

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Colorant, solvant et d&eacute tergent

Matrices

Corrig&eacute

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Ens. de sp&eacute cialit&eacute

matT_1200_00_20C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 5 points

Une entreprise fabrique trois produits diff&eacute rents  : un colorant, un solvant, un d&eacute tergent. Ces produits sont stock&eacute s dans trois entrep&ocirc ts

L&rsquo &eacute tat des stocks est donn&eacute par la matrice S suivante  :

en notant sur la premi&egrave re ligne les quantit&eacute s, en centaines de litres, de colorant en stock respectivement dans les entrep&ocirc ts , sur la deuxi&egrave me ligne les quantit&eacute s respectives, en centaines de litres, de solvant et sur la troisi&egrave me ligne les quantit&eacute s respectives, en centaines de litres, de d&eacute tergent.

&gt 1.a)  Quelle quantit&eacute de solvant y a-t-il en stock dans l&rsquo entrep&ocirc t   ? (0,25  point)

b)  De quelle quantit&eacute de d&eacute tergent l&rsquo entreprise dispose-t-elle au total  ? (0,25  point)

&gt 2.  Trois grossistes commercialisent ces produits, &agrave des prix (en euros) par centaine de litres donn&eacute s par la matrice P suivante  :

en notant sur la premi&egrave re ligne les prix auxquels le grossiste vend respectivement 100 litres de colorant, de solvant, de d&eacute tergent, sur la deuxi&egrave me ligne les prix pratiqu&eacute s par le grossiste , sur la troisi&egrave me ligne les prix pratiqu&eacute s par le grossiste .

a)  D&eacute terminer &agrave l&rsquo aide du produit d&rsquo une matrice ligne par une matrice colonne la recette potentielle du grossiste s&rsquo il vendait tout le stock de l&rsquo entrep&ocirc t . (0,5  point)

b)  Calculer le produit   donner la signification de chaque coefficient de ce produit. (0,5 point)

&gt 3.  Un laboratoire souhaite commander 1  500 litres de colorant, 800 litres de solvant et 1  000 litres de d&eacute tergent. Calculer &agrave l&rsquo aide d&rsquo un produit matriciel le prix de cette commande suivant le grossiste auquel il s&rsquo adresse. (1 point)

&gt 4.  Un autre laboratoire poss&egrave de un avoir de 23  994  &euro chez le grossiste , 24  080  &euro chez le grossiste , 23  306  &euro chez le grossiste  .

Il souhaite utiliser l&rsquo int&eacute gralit&eacute de ces avoirs en commandant le m&ecirc me nombre de centaines de litres de colorant, de centaines de litres de solvant, de centaines de litres de d&eacute tergent chez chacun des trois grossistes (il souhaite donc acheter en tout centaines de litres de colorant, centaines de litres de solvant, centaines de litres de d&eacute tergent).

a)  Traduire le probl&egrave me par un syst&egrave me de trois &eacute quations &agrave trois inconnues (0,75 point)

b)  &Eacute crire le syst&egrave me pr&eacute c&eacute dent sous forme matricielle. (0,5 point)

c)  R&eacute soudre le syst&egrave me en utilisant l&rsquo inverse d&rsquo une matrice. (0,75 point)

d)  En d&eacute duire le nombre de litres de colorant, de solvant et de d&eacute tergent command&eacute s aupr&egrave s de chacun des trois grossistes. (0,5 point)

On donne  :

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45  min.

Les th&egrave mes en jeu

Calcul matriciel &bull Inverse d&rsquo une matrice.

Les conseils du correcteur

&gt     1.  a)  Le r&eacute sultat est l&rsquo un des coefficients de la matrice .

b)  Faites la somme de trois coefficients de la matrice S.

&gt     3.  Exprimez les quantit&eacute s de produits en centaines de litres.

&gt     4.  Vous devez trouver que, pour utiliser ses avoirs, le laboratoire doit commander 8  600 litres de colorant, 4  300 litres de solvant et 4  300 litres de d&eacute tergent aupr&egrave s de chaque grossiste.