Colorant, solvant et détergent

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Colorant, solvant et détergent

Matrices

Corrigé

45

Ens. de spécialité

matT_1200_00_20C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Une entreprise fabrique trois produits différents  : un colorant, un solvant, un détergent. Ces produits sont stockés dans trois entrepôts

L’état des stocks est donné par la matrice S suivante  :

en notant sur la première ligne les quantités, en centaines de litres, de colorant en stock respectivement dans les entrepôts , sur la deuxième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de solvant et sur la troisième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de détergent.

>1.a)  Quelle quantité de solvant y a-t-il en stock dans l’entrepôt   ? (0,25  point)

b)  De quelle quantité de détergent l’entreprise dispose-t-elle au total  ? (0,25  point)

>2.  Trois grossistes commercialisent ces produits, à des prix (en euros) par centaine de litres donnés par la matrice P suivante  :

en notant sur la première ligne les prix auxquels le grossiste vend respectivement 100 litres de colorant, de solvant, de détergent, sur la deuxième ligne les prix pratiqués par le grossiste , sur la troisième ligne les prix pratiqués par le grossiste .

a)  Déterminer à l’aide du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne la recette potentielle du grossiste s’il vendait tout le stock de l’entrepôt . (0,5  point)

b)  Calculer le produit   donner la signification de chaque coefficient de ce produit. (0,5 point)

>3.  Un laboratoire souhaite commander 1  500 litres de colorant, 800 litres de solvant et 1  000 litres de détergent. Calculer à l’aide d’un produit matriciel le prix de cette commande suivant le grossiste auquel il s’adresse. (1 point)

>4.  Un autre laboratoire possède un avoir de 23  994  € chez le grossiste , 24  080  € chez le grossiste , 23  306  € chez le grossiste  .

Il souhaite utiliser l’intégralité de ces avoirs en commandant le même nombre de centaines de litres de colorant, de centaines de litres de solvant, de centaines de litres de détergent chez chacun des trois grossistes (il souhaite donc acheter en tout centaines de litres de colorant, centaines de litres de solvant, centaines de litres de détergent).

a)  Traduire le problème par un système de trois équations à trois inconnues (0,75 point)

b)  &Eacute crire le système précédent sous forme matricielle. (0,5 point)

c)  Résoudre le système en utilisant l’inverse d’une matrice. (0,75 point)

d)  En déduire le nombre de litres de colorant, de solvant et de détergent commandés auprès de chacun des trois grossistes. (0,5 point)

On donne  :

Durée conseillée  : 45  min.

Les thèmes en jeu

Calcul matriciel • Inverse d’une matrice.

Les conseils du correcteur

>    1.  a)  Le résultat est l’un des coefficients de la matrice .

b)  Faites la somme de trois coefficients de la matrice S.

>    3.  Exprimez les quantités de produits en centaines de litres.

>    4.  Vous devez trouver que, pour utiliser ses avoirs, le laboratoire doit commander 8  600 litres de colorant, 4  300 litres de solvant et 4  300 litres de détergent auprès de chaque grossiste.