Colorant, solvant et détergent

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Colorant, solvant et détergent

Matrices

Corrigé

45

Ens. de spécialité

matT_1200_00_20C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Une entreprise fabrique trois produits différents : un colorant, un solvant, un détergent. Ces produits sont stockés dans trois entrepôts

L’état des stocks est donné par la matrice S suivante :

en notant sur la première ligne les quantités, en centaines de litres, de colorant en stock respectivement dans les entrepôts , sur la deuxième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de solvant et sur la troisième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de détergent.

>1.a) Quelle quantité de solvant y a-t-il en stock dans l’entrepôt  ? (0,25 point)

b) De quelle quantité de détergent l’entreprise dispose-t-elle au total ? (0,25 point)

>2. Trois grossistes commercialisent ces produits, à des prix (en euros) par centaine de litres donnés par la matrice P suivante :

en notant sur la première ligne les prix auxquels le grossiste vend respectivement 100 litres de colorant, de solvant, de détergent, sur la deuxième ligne les prix pratiqués par le grossiste , sur la troisième ligne les prix pratiqués par le grossiste .

a) Déterminer à l’aide du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne la recette potentielle du grossiste s’il vendait tout le stock de l’entrepôt . (0,5 point)

b) Calculer le produit  ; donner la signification de chaque coefficient de ce produit. (0,5 point)

>3. Un laboratoire souhaite commander 1 500 litres de colorant, 800 litres de solvant et 1 000 litres de détergent. Calculer à l’aide d’un produit matriciel le prix de cette commande suivant le grossiste auquel il s’adresse. (1 point)

>4. Un autre laboratoire possède un avoir de 23 994 € chez le grossiste , 24 080 € chez le grossiste , 23 306 € chez le grossiste .

Il souhaite utiliser l’intégralité de ces avoirs en commandant le même nombre de centaines de litres de colorant, de centaines de litres de solvant, de centaines de litres de détergent chez chacun des trois grossistes (il souhaite donc acheter en tout centaines de litres de colorant, centaines de litres de solvant, centaines de litres de détergent).

a) Traduire le problème par un système de trois équations à trois inconnues (0,75 point)

b) Écrire le système précédent sous forme matricielle. (0,5 point)

c) Résoudre le système en utilisant l’inverse d’une matrice. (0,75 point)

d) En déduire le nombre de litres de colorant, de solvant et de détergent commandés auprès de chacun des trois grossistes. (0,5 point)

On donne :

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Calcul matriciel • Inverse d’une matrice.

Les conseils du correcteur

>  1. a) Le résultat est l’un des coefficients de la matrice .

b) Faites la somme de trois coefficients de la matrice S.

>  3. Exprimez les quantités de produits en centaines de litres.

>  4. Vous devez trouver que, pour utiliser ses avoirs, le laboratoire doit commander 8 600 litres de colorant, 4 300 litres de solvant et 4 300 litres de détergent auprès de chaque grossiste.

Corrigé

>1.a) Quantité de solvant en stock dans l’entrepôt E3

Le résultat (quantité de solvant en stock dans l’entrepôt ) est le coefficient situé à l’intersection de la deuxième ligne (solvant) et de la troisième colonne (entrepôt ) ; on lit qu’il y a 90 centaines de litres, soit 9 000 litres, de solvant dans l’entrepôt .

b) Quantité totale de détergent

Les quantités de détergent sont indiquées sur la troisième ligne de la matrice  ;

Au total dans les trois entrepôts, l’entreprise dispose de 540 centaines de litres de solvant, soit 54 000 litres.

>2.a) Recette potentielle du grossiste G1

Les prix pratiqués par le grossiste sont représentés par la matrice ligne .

Les quantités de produits disponibles dans l’entrepôt sont représentées par la matrice colonne . Or :

Notez bien

Le produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne de même ordre est toujours un nombre réel.

Si le grossiste vendait tout le stock de l’entrepôt , sa recette serait 76 200 €.

Notez bien

Le produit de deux matrices carrées de même ordre est une matrice carrée de même ordre.

b) Calcul de P × S, signification de chaque coefficient

Le coefficient situé à l’intersection de la ligne et de la colonne représente la recette que ferait le grossiste s’il vendait tous les produits stockés dans l’entrepôt .

On observe par exemple que si le grossiste vendait tout le stock de l’entrepôt , sa recette serait 99 000 € ; si le grossiste vendait tout le stock de l’entrepôt , sa recette serait 41 460 €. On retrouve que la recette que ferait le grossiste s’il vendait tout le stock de l’entrepôt est 76 200 €.

>3. Prix demandé pour une commande par les différents grossistes

Soit la matrice colonne représentant les quantités (en centaines de litres) que souhaite commander le laboratoire.

On calcule le produit .

Donc si le laboratoire s’adresse au grossiste , il paie 4 540 € ; s’il s’approvisionne auprès du grossiste , cela lui coûte 4 548 € ; s’il commande chez le grossiste , le montant total est 4 400 €.

>4.a) Traduction du problème par un système

Le laboratoire souhaite commander centaines de litres de colorant, centaines de litres de solvant, centaines de litres de détergent chez le grossiste pour un montant total de 23 994 €. doivent donc vérifier :

.

On a deux équations analogues correspondant à l’utilisation de l’avoir chez les deux autres grossistes. Finalement, le problème se traduit par le système :

b) Écriture matricielle du système

Sous forme matricielle, le système précédent peut s’écrire :

et sont les deux matrices colonnes définies par :

(inconnues) et (avoirs).

c) Résolution du système

On peut vérifier que la matrice est inversible. Le système équivaut donc à :

Notez bien

La matrice donnée dans l’énoncé ne sert pas dans l’exercice.

Le système a donc pour seule solution le triplet .

d) Conclusion

Le laboratoire commande donc 86 centaines de litres de colorant, 43 centaines de litres de solvant et 43 centaines de litres de détergent, c’est-à-dire que le laboratoire commande 8 600 litres de colorant, 4 300 litres de solvant et 4 300 litres de détergent auprès de chaque grossiste.