Une entreprise fabrique trois produits différents  : un colorant, un solvant, un détergent. Ces produits sont stockés dans trois entrepôts

L’état des stocks est donné par la matrice S suivante  :

en notant sur la première ligne les quantités, en centaines de litres, de colorant en stock respectivement dans les entrepôts , sur la deuxième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de solvant et sur la troisième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de détergent.

>  1.  a)  Quelle quantité de solvant y a-t-il en stock dans l’entrepôt   ? (0,25  point)

b)  De quelle quantité de détergent l’entreprise dispose-t-elle au total  ? (0,25  point)

>  2.  Trois grossistes commercialisent ces produits, à des prix (en euros) par centaine de litres donnés par la matrice P suivante  :

en notant sur la première ligne les prix auxquels le grossiste vend respectivement 100 litres de colorant, de solvant, de détergent, sur la deuxième ligne les prix pratiqués par le grossiste , sur la troisième ligne les prix pratiqués par le grossiste .

a)  Déterminer à l’aide du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne la recette potentielle du grossiste s’il vendait tout le stock de l’entrepôt . (0,5  point)

b)  Calculer le produit   donner la signification de chaque coefficient de ce produit. (0,5 point)

>  3.  Un laboratoire souhaite commander 1  500 litres de colorant, 800 litres de solvant et 1  000 litres de détergent. Calculer à l’aide d’un produit matriciel le prix de cette commande suivant le grossiste auquel il s’adresse. (1 point)

>  4.  Un autre laboratoire possède un avoir de 23  994  € chez le grossiste , 24  080  € chez le grossiste , 23  306  € chez le grossiste  .

Il souhaite utiliser l’intégralité de ces avoirs en commandant le même nombre de centaines de litres de colorant, de centaines de litres de solvant, de centaines de litres de détergent chez chacun des trois grossistes (il souhaite donc acheter en tout centaines de litres de colorant, centaines de litres de solvant, centaines de litres de détergent).

a)  Traduire le problème par un système de trois équations à trois inconnues (0,75 point)

b)  Écrire le système précédent sous forme matricielle. (0,5 point)

c)  Résoudre le système en utilisant l’inverse d’une matrice. (0,75 point)

d)  En déduire le nombre de litres de colorant, de solvant et de détergent commandés auprès de chacun des trois grossistes. (0,5 point)

On donne  :