Matrices
Corrigé
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Ens. de spécialité
matT_1200_00_20C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Une entreprise fabrique trois produits différents : un colorant, un solvant, un détergent. Ces produits sont stockés dans trois entrepôts 
L'état des stocks est donné par la matrice S suivante :
en notant sur la première ligne les quantités, en centaines de litres, de colorant en stock respectivement dans les entrepôts 
, sur la deuxième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de solvant et sur la troisième ligne les quantités respectives, en centaines de litres, de détergent.
? (0,25 point)
commercialisent ces produits, à des prix (en euros) par centaine de litres donnés par la matrice P suivante :
en notant sur la première ligne les prix auxquels le grossiste 
vend respectivement 100 litres de colorant, de solvant, de détergent, sur la deuxième ligne les prix pratiqués par le grossiste 
, sur la troisième ligne les prix pratiqués par le grossiste 
.
s'il vendait tout le stock de l'entrepôt 
. (0,5 point)
donner la signification de chaque coefficient de ce produit. (0,5 point)
, 24 080 € chez le grossiste 
, 23 306 € chez le grossiste 
.
Il souhaite utiliser l'intégralité de ces avoirs en commandant le même nombre 
de centaines de litres de colorant, 
de centaines de litres de solvant, 
de centaines de litres de détergent chez chacun des trois grossistes (il souhaite donc acheter en tout 
centaines de litres de colorant, 
centaines de litres de solvant, 
centaines de litres de détergent).
(0,75 point)
On donne :
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Calcul matriciel • Inverse d'une matrice.
Les conseils du correcteur
.
> 1. a) Quantité de solvant en stock dans l'entrepôt E3
Le résultat (quantité de solvant en stock dans l'entrepôt 
) est le coefficient situé à l'intersection de la deuxième ligne (solvant) et de la troisième colonne (entrepôt 
) on lit qu'
b) Quantité totale de détergent
Les quantités de détergent sont indiquées sur la troisième ligne de la matrice 
> 2. a) Recette potentielle du grossiste G1
Les prix pratiqués par le grossiste 
sont représentés par la matrice ligne 
.
Les quantités de produits disponibles dans l'entrepôt 
sont représentées par la matrice colonne 
. Or :
Notez bien
Le produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne de même ordre est toujours un nombre réel.
vendait tout le stock de l'entrepôt 
, sa recette serait 76 200 €.
Notez bien
Le produit de deux matrices carrées de même ordre est une matrice carrée de même ordre.
b) Calcul de P × S, signification de chaque coefficient
et de la colonne 
représente la recette que ferait le grossiste 
s'il vendait tous les produits stockés dans l'entrepôt 
.
On observe par exemple que si le grossiste 
vendait tout le stock de l'entrepôt 
, sa recette serait 99 000 € si le grossiste 
vendait tout le stock de l'entrepôt 
, sa recette serait 41 460 €. On retrouve que la recette que ferait le grossiste 
s'il vendait tout le stock de l'entrepôt 
est 76 200 €.
> 3. Prix demandé pour une commande par les différents grossistes
Soit la matrice colonne 
représentant les quantités (en centaines de litres) que souhaite commander le laboratoire.
On calcule le produit 
.
, il paie 4 540 € s'il s'approvisionne auprès du grossiste 
, cela lui coûte 4 548 € s'il commande chez le grossiste 
, le montant total est 4 400 €.
> 4. a) Traduction du problème par un système
Le laboratoire souhaite commander 
centaines de litres de colorant, 
centaines de litres de solvant, 
centaines de litres de détergent chez le grossiste 
pour un montant total de 23 994 €. 
doivent donc vérifier :
.
On a deux équations analogues correspondant à l'utilisation de l'avoir chez les deux autres grossistes. Finalement, le problème se traduit par le système :
b) Écriture matricielle du système
Sous forme matricielle, le système précédent peut s'écrire :
où 
et 
sont les deux matrices colonnes définies par :
(inconnues) et 
(avoirs).
c) Résolution du système
On peut vérifier que la matrice 
est inversible. Le système équivaut donc à :
Notez bien
La matrice 
donnée dans l'énoncé ne sert pas dans l'exercice.
.
d) Conclusion
Le laboratoire commande donc 86 centaines de litres de colorant, 43 centaines de litres de solvant et 43 centaines de litres de détergent,