1^er temps • Présentation d’une question problématisée ⏱ 5 min

Les titres en couleurs mettent en évidence la structure de cette présentation.

Introduction

[Accroche] Au xvii^e siècle, l’essor de la navigation et le développement du commerce sont à l’origine de nombreux problèmes de calculs numériques. Certains mathématiciens tentent de trouver des méthodes de calculs rapides et sûres. [Présentation du sujet] Très intéressé·e par l’astronomie, je me suis souvent demandé comment les « anciens » pouvaient prévoir avec tant de précision certains phénomènes naturels, qui demandent d’effectuer de nombreux calculs.

[Annonce du plan] J’expliquerai d’abord comment les logarithmes inventés par John Napier (1550-1617) permettent d’effectuer des multiplications de grands nombres en minimisant le temps et le risque d’erreurs, j’évoquerai ensuite les idées mathématiques qui ont permis cette découverte et je donnerai enfin de nombreux exemples d’applications de ce procédé qui soulagea tant de scientifiques.

I. Multiplier à l’aide des logarithmes

À une époque où tous les calculs se font à la main, la longueur de certains est un obstacle majeur à l’avancée du progrès scientifique. On peut notamment citer les calculs de trigonométrie en astronomie, les calculs d’intérêts composés, couramment effectués par les banquiers… Les logarithmes inventés par l’écossais John Napier en 1614 ont comme « merveilleuse » propriété de transformer les produits en sommes et de simplifier les calculs.

Voici un aperçu du principe de la méthode de Napier pour multiplier deux nombres A et B. Par l’intermédiaire de tables, on associe à ces deux nombres leurs logarithmes, notés respectivement ln(A) et ln(B). Ces logarithmes possèdent la propriété suivante : ln(A) + ln(B) = ln(A × B). Ainsi, pour déterminer une valeur approchée du produit A × B, par lecture inverse des tables, il suffit d’effectuer l’addition ln(A) + ln(B).

II. Définir les logarithmes

L’idée majeure de Napier est de mettre en correspondance une progression géométrique (logos) et une progression arithmétique (arithmos) de manière à généraliser à des exposants non entiers la propriété : q^a × q^b = q^a+b.

Par l’intermédiaire de tables, Napier donne un moyen de faire correspondre un « logarithme » qui possède cette propriété à chaque nombre positif. Napier procède par approximations, et obtient des valeurs d’une très grande précision, à l’aide de calculs simples et faciles à vérifier. À son époque, la notion de fonction n’existe pas. Pourtant, cette mise en correspondance est bien une « fonction » : l’opposé de la fonction logarithme népérien, nommée en l’honneur de Napier (Neper en français).

S’il a fallu quarante ans à Napier pour établir sa théorie et ses tables, une fois connues, elles ont fait gagner énormément de temps aux scientifiques de tous ordres.

III. Utiliser les logarithmes

Le temps de calcul que demande une multiplication est bien supérieur à celui d’une addition, et ce, d’autant plus que les nombres considérés sont grands. En effet, une multiplication demande d’effectuer environ autant d’additions qu’il y a de chiffres dans les nombres considérés. Le fait de transformer les produits en sommes a donc pour avantages la simplicité et la rapidité d’exécution. Comme le dira plus tard Laplace, « l’invention des logarithmes […] double pour ainsi dire la vie des astronomes ».

Les contemporains de Napier apprécient rapidement ce nouvel outil de calcul. Henry Briggs, professeur de mathématiques à Londres, engagé dans de difficiles calculs astronomiques, reconnaît l’intérêt des logarithmes et va faciliter leur utilisation. L’Allemand Johannes Kepler les utilise pour calculer des éphémérides astronomiques. Les marins s’en emparent et les utilisent pour calculer des distances. Pour un banquier, il devient facile de connaître le temps qu’il faut à un capital pour doubler lorsqu’il est placé à intérêts composés.

Conclusion

Toute activité scientifique nécessite du calcul numérique. Les logarithmes de Napier sont une avancée historique notoire qui sera suivie, en 1624, par la définition de Briggs des logarithmes décimaux, plus adaptés à la numération en base dix. Aujourd’hui la fonction ln, héritée des travaux de Napier, est étudiée en Terminale. L’échelle logarithmique est d’un emploi courant dans de nombreux domaines : en chimie (le pH), en acoustique (le décibel), en sismologie (l’échelle de Richter), etc. Les logarithmes sont encore sujet de recherche, notamment en cryptographie, avec le logarithme discret.

2^e temps • Échange avec le jury ⏱ 10 min

Voici quelques-unes des questions que le jury pourrait poser à la suite de la présentation ainsi que des réponses possibles (à développer le jour dit).

Pouvait-on utiliser les logarithmes pour d’autres calculs fastidieux ?

Oui, bien sûr, les logarithmes transforment les quotients en différences, les carrés en doubles, les racines carrées en moitiés, etc.

Par exemple, pour calculer la racine carrée d’un nombre strictement positif X, on déterminait à l’aide des tables ln(X) que l’on divisait par 2. Le nombre obtenu, mettons Y, est tel que Y = ln(R) où R est la racine cherchée que l’on détermine par lecture inverse de la table.

Quel lien existe-t-il entre logarithme décimal et logarithme népérien et dans quel domaine le logarithme décimal est-il utilisé ?

Le logarithme décimal, noté log, est le logarithme népérien divisé par ln(10) : log(x) = $\frac{\ln (x)}{\ln (10)}$, x > 0. On a donc log(10) = 1 et log(10ⁿ) = n, pour n entier.

On l’utilise par exemple en chimie pour le potentiel hydrogène noté pH qui vaut – log[H³O⁺] et qui mesure l’acidité d’une solution.

Quel est le lien entre l’aire sous la courbe de la fonction inverse et la fonction ln ?

La fonction ln admet sur ]0 ; + ∞[ pour fonction dérivée la fonction inverse. Pour tout x > 1, ${\displaystyle {\int }_1^x\frac{1}{t}\text{d}t}=\ln x$. Donc lnx est, en unités d’aire, l’aire sous courbe de la fonction inverse entre 1 et x.

3^e temps • Échange sur le projet d’orientation ⏱ 5 min

Le jour J, il vous faudrait bien sûr développer la réponse.

Comment avez-vous choisi le sujet de votre exposé ? En quoi est-il en lien avec votre projet d’orientation ?

J’ai choisi ce sujet car j’ai toujours été intrigué·e par l’apparition de nouveaux concepts mathématiques et leurs utilisations éventuelles en sciences de l’ingénieur. Je me suis rapidement aperçu que les théorèmes de géométrie (Pythagore, Thalès…) étaient très utiles en architecture, que les fonctions exponentielles et trigonométriques permettaient d’étudier les phénomènes vibratoires, etc.

Je pense poursuivre mes études en classe préparatoire afin d’intégrer une école d’ingénieurs pour travailler dans le domaine de la recherche astronomique.