Comment sortir d’un carré ?

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 3 • 3 points

Comment sortir d’un carré ?

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u,v).

On considère le point A d’affixe 4, le point B d’affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Mn le point d’affixe zn = (1 + i)n.

1. Écrire le nombre 1 + i sous forme exponentielle.

 2. Montrer qu’il existe un entier naturel n0, que l’on précisera, tel que, pour tout entier n n0, le point Mn est à l’extérieur du carré ABCD.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Fonction logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Module d’un nombre complexe  E18a • E18b 1. et 2.

Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d 1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21b  1.

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e 2.

Nos coups de pouce

 2. Traduisez la condition imposée sur le point Mn par une inéquation faisant intervenir le module du nombre complexe zn et résolvez cette ­inéquation.

Corrigé

Corrigé

 1. Mettre un nombre complexe sous forme exponentielle

|1+i|=12+12=2.

Soit θ=arg(1+i), alors cos(θ)=12=22×2=22 et sin(θ)=12=22.

Un argument de 1+i est alors θ=π4.

La forme exponentielle de 1 + i est donc 2eiπ4.

 2. Déterminer une valeur seuil

matT_1606_02_01C_12

4 est la plus grande distance existant entre le point O et un point situé sur le carré. Par conséquent chercher s’il existe un entier naturel n0 tel que, pour tout nn0, tous les points Mn soient à l’extérieur du carré ABCD équivaut à chercher un entier naturel n0 tel que, pour tout nn0, toutes les longueurs OMn soient supérieures à 4. Cherchons si un tel entier n0 existe.

On a les équivalences suivantes :

OMn>4|zn|>4|(1+i)n|>4|1+i|n>4(2)n>4ln(2)n>ln(4)n×12ln(2)>2ln(2)n>4.

Notez bien

Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel n : |zn|=|z|n.

Pour tous réels a>0, b>0 et tout entier relatif n : ln(an)=nln(a) ; ln(a)=12ln(a) et a>bln(a)>ln(b).

Il existe donc un entier n0 (il s’agit de n0 = 5) tel que, pour tout entier naturel nn0, le point Mn est à l’extérieur du carré ABCD.