Comparaison de deux programmes

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral
Type : Exercice | Année : 2018 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Mai 2018

Exercice 4 • 18 points

Comparaison de deux programmes

Programme A

• Choisir un nombre

• Soustraire 3

• Calculer le carré du résultat obtenu

Programme B

• Choisir un nombre

• Calculer le carré de ce nombre

• Ajouter le triple du nombre de départ

• Ajouter 7

1. Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. Expliquer, en détaillant, les calculs que le résultat du programme de calcul est 4.

2. Tidjane choisit le nombre −5 et applique le programme B. Quel résultat obtient-il ?

3. Lina souhaite regrouper le résultat de chaque programme à l’aide d’un tableur. Elle crée la feuille de calcul ci-dessous. Quelle formule, copiée ensuite à droite dans les cellules C3 à H3, a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?

mat3_1805_12_00C_11

4. Zoé cherche à trouver un nombre de départ pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat. Pour cela, elle appelle x le nombre choisi au départ et exprime le résultat de chaque programme de calcul en fonction de x.

a) Montrer que le résultat du programme A en fonction de x peut s’écrire sous forme développée et réduite : x26x+9.

b) Écrire le résultat du programme B en fonction de x.

c) Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ?

Les clés du sujet

Points du programme

Calcul littéral • Tableur • Équation.

Nos coups de pouce

1. et 2. Effectue successivement et dans l’ordre indiqué les différentes étapes des programmes de calcul en partant du nombre choisi.

4. a) et b) Choisis un nombre quelconque x et applique les deux programmes de calcul.

c) Résous une équation.

Corrigé

Corrigé

1. Application du programme A par Corinne.

Corinne choisit le nombre 1.

Elle soustrait 3 à ce nombre et obtient - 2.

Puis elle calcule le carré du résultat obtenu. Elle obtient (2)2, c’est-à-dire 4.

Conclusion : Corinne obtient bien 4.

2. Application du programme B par Tidjane.

Tidjane choisit le nombre - 5.

Il calcule le carré de ce nombre. Il obtient (5)2, c’est-à-dire 25.

Puis il ajoute le triple du nombre de départ, c’est-à-dire qu’il ajoute –15. Il obtient donc 10.

Enfin il ajoute 7 et trouve 17.

Conclusion : Tidjane obtient 17.

3. En B3 il faut saisir la formule =B1*B1+3*B1+7.

4. a) Zoé choisit un nombre x et applique le programme A.

Elle soustrait 3 à ce nombre et trouve (x - 3).

Elle calcule le carré du résultat obtenu et obtient (x3)2.

En appliquant l’identité remarquable (ab)2=a22ab+b2, on peut affirmer que le résultat du programme est x26x+9.

b) Zoé choisit un nombre x et applique le programme B.

Elle élève au carré ce nombre et trouve x2.

Elle ajoute le triple du nombre de départ, c’est-à-dire qu’elle ajoute 3x. Elle obtient x2+3x.

Enfin elle ajoute 7 et trouve x2+3x+7.

c) Pour répondre à la question, résolvons l’équation : x26x+9=x2+3x+7.

Nous avons : x26xx23x=79, soit - 9x = - 2 ou encore x=29.

Conclusion : si on choisit 29 pour nombre de départ, les deux programmes donnent le même résultat.

remarque

On peut vérifier que l’on trouve également 62581 si on remplace x par 29 dans x26x+9.

Pour obtenir ce résultat, remplaçons x par 29 dans x2+3x+7 par exemple.

On trouve (29)2+3×29+7, soit 62581.