Comparaison des volumes de quatre solides

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Représenter l'espace
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Centres étrangers


Centres étrangers • Juin 2017

Exercice 3 • 6 points

Comparaison des volumes de quatre solides

Voici les dimensions de quatre solides :

mat3_1706_06_04C_01

Une pyramide de 6 cm de hauteur dont la base est un rectangle de 6 cm de longueur et de 3 cm de largeur.

Un cylindre de 2 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.

Un cône de 3 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.

Une boule de 2 cm de rayon.

1. a) Représenter approximativement les trois premiers solides comme l’exemple ci-dessus.

b) Placer les dimensions données sur les représentations.

2. Classer ces quatre solides dans l’ordre croissant de leurs volumes.

Quelques formules :

43×π×rayon3

13×π×rayon2×hauteur

π×rayon2×hauteur

13×aire de la base×hauteur

Les clés du sujet

Points du programme

Tracer des figures dans l’espace • Calculs de volumes.

Nos coups de pouce

1. Utilise une règle graduée, une équerre et un compas.

2. Pour calculer les quatre volumes, applique les formules données.

Corrigé

Corrigé

1. a) et b)

mat3_1706_06_04C_02

2. Notons 𝒱1, 𝒱2, 𝒱3 et 𝒱4 les volumes respectifs de la pyramide, du cylindre, du cône et de la boule.

Nous avons 𝒱1 = 13 × aire de la base × hauteur

soit 𝒱1 = 13×(3×6)×6

Donc 𝒱1 = 36 cm3.

Nous avons 𝒱2 = π×rayon2×hauteur soit 𝒱2 = π×22×3 ou encore 𝒱2 = 12π.

Donc 𝒱2 = 37,7 cm3 (valeur arrondie au dixième).

Nous avons 𝒱3 = 13×π×rayon2×hauteur, soit 𝒱3 = 13×π×32×3, soit 𝒱3 = 9π. Donc 𝒱3 = 28,3 cm3 (valeur arrondie au dixième).

Nous avons 𝒱4 = 43×π×rayon3, soit 𝒱4 = 43×π×23 ou encore 𝒱4 = 32π3.

Donc 𝒱4 = 33,5 cm3 (valeur arrondie au dixième).

Conclusion : par ordre croissant des volumes, nous avons :

volume du cône – volume de la boule – volume de la pyramide – volume du cylindre, car 𝒱3 < 𝒱4 < 𝒱1 < 𝒱2.