Comportement de conducteurs à un feu tricolore et étude du trafic

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud

Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 1 • 5 points

Comportement de conducteurs à un feu tricolore et étude du trafic

Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront données à 0,001 près.

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d’une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d’automobile au moment de franchir un feu tricolore.

partie a

Dans cette partie, on s’intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur « rouge » pendant 42 secondes, « orange » pendant 6 secondes et « vert » pendant 72 secondes.

Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :

lorsque le feu est rouge, 10 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent ;

lorsque le feu est orange, 86 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent ;

lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.

On s’intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

R l’événement « le feu est au rouge » ;

O l’événement « le feu est à l’orange » ;

V l’événement « le feu est au vert » ;

C l’événement « le conducteur continue de rouler ».

Pour tout événement A, on note p(A) sa probabilité, pB(A) la probabilité de A sachant que B est réalisé et A¯ l’événement contraire de A.

1. Modéliser cette situation par un arbre pondéré. (1 point)

2. Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est 0,678. (1 point)

3. Sachant qu’un conducteur continue de rouler au feu, quelle est la probabilité que le feu soit vert ? (1 point)

partie b

Dans cette partie, on s’intéresse au trafic aux heures de pointe.

On désigne par X la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.

On admet que X suit la loi normale de moyenne 3 000 et d’écart-type 150.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter entre 2 800 et 3 200 voitures par heure à cet endroit. (0,5 point)

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter plus de 3 100 voitures par heure à cet endroit. (0,5 point)

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

3. À un autre endroit du boulevard, à proximité d’un pont, la variable aléatoire Y qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne 3 000 et d’écart type σ strictement supérieur à 150.

Sur le graphique ci-après, la courbe correspondant à X est en vert et la courbe correspondant à Y est en rouge.

Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu’il passe en une heure, entre 2 800 et 3 200 voitures, est la plus grande. Justifier à l’aide du graphique. (1 point)

matT_1511_03_00C_01

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité • Loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les durées et les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. Utilisez une partition de l’univers.

3. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. et 2. Utilisez la calculatrice.

3. Les courbes données représentent les fonctions de densité des variables aléatoires X et Y. Les probabilités qu’il s’agit de comparer sont égales aux aires de deux domaines délimités par ces courbes.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

Pour chaque cycle de deux minutes, le feu est rouge pendant 42 secondes, orange pendant 6 secondes et vert pendant 72 secondes, donc :

p(R)=42120=720=0,35  ;

p(O)=6120=120=0,05  ;

p(V)=72120=1220=35=0,6.

D’autre part, d’après l’énoncé :

pR(C)=0,1, pO(C)=0,6 et pV(C)=1.

D’où l’arbre :

matT_1511_03_00C_02

2. Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est p(C).

Puisque R, O et V constituent une partition de l’univers :

p(C)=p(CR)+p(CO)+p(CV).

D’après l’arbre :

p(C)=0,35×0,1+0,05×0,86+0,6×1

p(C)=0,678.

3. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche à calculer la probabilité pC(V).

Par définition d’une probabilité conditionnelle, p(C) étant non nulle :

pC(V)=p(VC)p(C)=0,6×10,678.

Donc, au millième près :

pC(V)=0,885.

partie b

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

X suit la loi normale de moyenne 3 000 et d’écart type 150, donc, d’après la calculatrice, au millième près :

p(2800<X<3200)=0,818.

2. Calculer une autre probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Puisque X suit une loi normale de moyenne 3 000 : p(X3000)=p(X3000)=0,5.

p(X3100)=p(X3000)p(3000X3100).

D’après la calculatrice :

p(3000 X 3100)0,248

donc, au millième près :

p(X3100)=0,252.

3. Comparer graphiquement deux probabilités

Appelons f la fonction de densité de X, dont la courbe représentative est en vert, et g la fonction de densité de Y, dont la courbe représentative est en rouge sur le graphique.

Info

Les variables aléatoires X et Y suivent une loi normale de moyenne 3000, donc les courbes représentatives des fonctions f et g ont pour axe de symétrie la droite d’équation x=3000.

On cherche à comparer :

p(2800X3200)

et p(2800Y3200).

p(2800X3200) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, les droites d’équations x=2800 et x=3000 et la courbe représentative de f (coloré sur le graphique ci-après).

p(2800 Y 3200) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, les droites d’équations x=2800 et x=3000 et la courbe représentative de la fonction g (hachuré sur le graphique ci-après).

matT_1511_03_00C_03

Les droites d’équation x=2800 et x=3200, tracées en bleu sur le graphique ci-dessus, passent par les points d’intersection des deux courbes.

On observe sur le graphique que l’aire du domaine coloré est supérieure à l’aire du domaine hachuré, d’où :

p(2800X3200)>p(2800Y3200).

C’est donc à proximité du feu que la probabilité qu’il passe, en une heure, entre 2 800 et 3 200 voitures, est la plus grande.