Conformité d’un ballon de football

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Conformité d’un ballon de football

Intervalles de fluctuation et de confiance

matT_1411_03_02C

Ens. spécifique

34

Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 1 • 6 points

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football.

Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

  • une petite taille ;
  • une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l’intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68 ; 70].

>1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa masse en grammes.

On admet que X suit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10.

Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité P(410 X  450).

>2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa circonférence en centimètres.

On admet que Y suit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type σ.

Déterminer la valeur de σ, au centième près, sachant que 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors P(− β Z  β) = 0,97 pour β ≈ 2,17.

Partie B

L’entreprise affirme que 98 % de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à la réglementation.

Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.

(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

Partie C

L’entreprise produit 40 % de ballons de football de petite taille et 60 % de ballons de taille standard.

On admet que 2 % des ballons de petite taille et 5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.

On considère les événements :

A : « le ballon de football est de petite taille » ;

B : « le ballon de football est de taille standard » ;

C : « le ballon de football est conforme à la réglementation » et , l’événement contraire de C.

>1. Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilités.

>2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

>3. Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,962.

>4. Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à 10−3.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Calculs de probabilités  E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 1. ; partie C, 1. à 4.
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation asymptotique  E43  → Partie B.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40d• E40e  → Partie A, 1. et 2.

Calculatrice

• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Justifiez en centrant et en réduisant la variable aléatoire que est équivalent à est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Concluez en utilisant le résultat donné dans l’énoncé.

Partie B

Identifiez la proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l’entreprise. Précisez la taille n de l’échantillon étudié et la fréquence observée f de ballons de taille standard conformes à la réglementation dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l’appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale

La probabilité est la probabilité qu’un ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise soit conforme pour la masse.

Nous pouvons en déterminer directement une valeur approchée à l’aide d’une calculatrice :

 

CASIO Graph 75

TI-83 Plus.fr

 

La probabilité devant être arrondie au millième, nous avons :

>2. Déterminer l’écart type d’une loi normale

Comme 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation, autrement dit comprise entre 68 cm et 70 cm, la probabilité qu’un ballon de taille standard choisi dans l’entreprise soit conforme pour la circonférence est :

Notez bien

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi normale d’espérance et d’écart type signifie que suit la loi normale centrée réduite.

Or

D’après le résultat donné dans l’énoncé, nous avons pour Ainsi, par identification, et

La valeur arrondie de, au centième près, est donc 0,46.

Partie B

Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

La proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l’entreprise est supposée être égale à 0,98. 250 ballons de taille standard ont été contrôlés, la taille n de l’échantillon est donc 250. Comme et l’intervalle de fluctuation asymptotique est défini et donné par :

Parmi les ballons de taille standard contrôlés, 233 s’avèrent conformes à la réglementation. La fréquence observée de ballons de taille standard conformes dans l’échantillon est donc La fréquence observée n’appartenant pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique, le résultat de ce contrôle remet donc en cause l’affirmation de cette entreprise.

Partie C

>1. Construire un arbre pondéré

  • Premier niveau de l’arbre : quelle est la taille du ballon ?

40 % des ballons de football produits par cette entreprise sont de petite taille : .

60 % des ballons de football produits par cette entreprise sont de taille standard : .

  • Deuxième niveau de l’arbre : le ballon est-il conforme ?

2 % des ballons de petite taille ne sont pas conformes à la réglementation. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement est réalisé est . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud ) est égale à 1, .

5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement est réalisé est . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud ) est égale à 1, .


 

>2. Calculer la probabilité d’une feuille

La probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation est la probabilité de l’événement . Par propriété (probabilité d’une feuille), la probabilité de cet événement est le produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui aboutit à la feuille . Ainsi, nous avons :.

La probabilité que le ballon de football soit de petite taille et conforme à la réglementation est 0,392.

>3. Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre

La probabilité qu’un ballon de football choisi au hasard soit conforme à la réglementation est la probabilité de l’événement . L’événement est associé à deux feuilles : et . Par conséquent, la probabilité de l’événement est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité qu’un ballon de football choisi au hasard soit conforme à la réglementation est bien 0,962.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, c’est la probabilité qu’un ballon choisi au hasard soit de petite taille sachant que ce ballon n’est pas conforme. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

Attention !

Si est un événement et son événement contraire, on a .

La probabilité devant être arrondie au millième, nous avons.