Intervalles de fluctuation et de confiance
matT_1411_03_02C
Ens. spécifique
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Amérique du Sud • Novembre 2014
Exercice 1 • 6 points
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football.
Cette entreprise propose deux tailles de ballons :
- une petite taille
- une taille standard.
Les trois parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l’intervalle [410 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68 70].
On admet que X suit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10.
Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité P(410
On admet que Y suit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type σ.
Déterminer la valeur de σ, au centième près, sachant que 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors P(− β
Partie B
L’entreprise affirme que 98 % de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)
Partie C
L’entreprise produit 40 % de ballons de football de petite taille et 60 % de ballons de taille standard.
On admet que 2 % des ballons de petite taille et 5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.
On considère les événements :
A : « le ballon de football est de petite taille »
B : « le ballon de football est de taille standard »
C : « le ballon de football est conforme à la réglementation » et 
, l’événement contraire de C.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
- Calculs de probabilités
E34 • E35 • E37 • E40 a - Prise de décision et intervalle de fluctuation asymptotique
E43 → Partie B. - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 d • E40 e
Calculatrice
• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale
Nos coups de pouce
Partie A
que 
est équivalent à 
où 
est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Concluez en utilisant le résultat donné dans l’énoncé.
Partie B
Identifiez la proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l’entreprise. Précisez la taille n de l’échantillon étudié et la fréquence observée f de ballons de taille standard conformes à la réglementation dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l’appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.
