Intervalles de fluctuation et de confiance
matT_1411_03_02C
Ens. spécifique
34
Amérique du Sud • Novembre 2014
Exercice 1 • 6 points
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football.
Cette entreprise propose deux tailles de ballons :
- une petite taille
- une taille standard.
Les trois parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68 70].
On admet que X suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10.
Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité P(410
On admet que Y suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type σ.
Déterminer la valeur de σ, au centième près, sachant que 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors P(− β
Partie B
L'entreprise affirme que 98 % de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse.
(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)
Partie C
L'entreprise produit 40 % de ballons de football de petite taille et 60 % de ballons de taille standard.
On admet que 2 % des ballons de petite taille et 5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise.
On considère les événements :
A : « le ballon de football est de petite taille »
B : « le ballon de football est de taille standard »
C : « le ballon de football est conforme à la réglementation » et 
, l'événement contraire de C.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Calculs de probabilités
E34 • E35 • E37 • E40 a - Prise de décision et intervalle de fluctuation asymptotique
E43 → Partie B. - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 d • E40 e
Calculatrice
• Calcul d'une probabilité associée à une loi normale
Nos coups de pouce
Partie A
que 
est équivalent à 
où 
est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Concluez en utilisant le résultat donné dans l'énoncé.
Partie B
Identifiez la proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l'entreprise. Précisez la taille n de l'échantillon étudié et la fréquence observée f de ballons de taille standard conformes à la réglementation dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l'intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l'appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.
Partie A
> 1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale
La probabilité 
est la probabilité qu'un ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise soit conforme pour la masse.
Nous pouvons en déterminer directement une valeur approchée à l'aide d'une calculatrice :
| CASIO Graph 75 | TI-83 Plus.fr |
|
|
|
> 2. Déterminer l'écart type d'une loi normale
Comme 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation, autrement dit comprise entre 68 cm et 70 cm, la probabilité qu'un ballon de taille standard choisi dans l'entreprise soit conforme pour la circonférence est :
Notez bien
Dire qu'une variable aléatoire 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
signifie que 
suit la loi normale centrée réduite.
Or 
D'après le résultat donné dans l'énoncé, nous avons 
pour 
Ainsi, par identification, 
et 
Partie B
Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation
La proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l'entreprise est supposée être égale à 0,98. 250 ballons de taille standard ont été contrôlés, la taille n de l'échantillon est donc 250. Comme 
et 
l'intervalle de fluctuation asymptotique est défini et donné par :
Parmi les ballons de taille standard contrôlés, 233 s'avèrent conformes à la réglementation. La fréquence observée 
de ballons de taille standard conformes dans l'échantillon est donc 
La fréquence observée 
n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique,
Partie C
> 1. Construire un arbre pondéré
- Premier niveau de l'arbre : quelle est la taille du ballon ?
40 % des ballons de football produits par cette entreprise sont de petite taille : 
.
60 % des ballons de football produits par cette entreprise sont de taille standard : 
.
- Deuxième niveau de l'arbre : le ballon est-il conforme ?
2 % des ballons de petite taille ne sont pas conformes à la réglementation. Par suite, la probabilité que l'événement 
se réalise sachant que l'événement 
est réalisé est 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud 
) est égale à 1, 
.
5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. Par suite, la probabilité que l'événement 
se réalise sachant que l'événement 
est réalisé est 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud 
) est égale à 1, 
.
> 2. Calculer la probabilité d'une feuille
La probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation est la probabilité de l'événement 
. Par propriété (probabilité d'une feuille), la probabilité de cet événement est le produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui aboutit à la feuille 
. Ainsi, nous avons :
.
> 3. Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre
La probabilité qu'un ballon de football choisi au hasard soit conforme à la réglementation est la probabilité de l'événement 
. L'événement 
est associé à deux feuilles : 
et 
. Par conséquent, la probabilité de l'événement 
est la somme des probabilités de ces feuilles :
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, c'est la probabilité qu'un ballon choisi au hasard soit de petite taille sachant que ce ballon n'est pas conforme. Cette probabilité conditionnelle se note 
et par définition :
Attention !
Si 
est un événement et 
son événement contraire, on a 
.
