Conformité d’un ballon de football

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Conformité d’un ballon de football

Intervalles de fluctuation et de confiance

matT_1411_03_02C

Ens. spécifique

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Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 1 • 6 points

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football.

Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

  • une petite taille 
  • une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l’intervalle [410  450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68  70].

>1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa masse en grammes.

On admet que X suit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10.

Déterminer une valeur approchée à 10&minus 3 près de la probabilité P(410 &le X &le  450).

>2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa circonférence en centimètres.

On admet que Y suit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type σ.

Déterminer la valeur de σ, au centième près, sachant que 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors P(&minus β &le Z &le  β) = 0,97 pour β &asymp 2,17.

Partie B

L’entreprise affirme que 98 % de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à la réglementation.

Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.

(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

Partie C

L’entreprise produit 40 % de ballons de football de petite taille et 60 % de ballons de taille standard.

On admet que 2 % des ballons de petite taille et 5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.

On considère les événements :

A : « le ballon de football est de petite taille » 

B : « le ballon de football est de taille standard » 

C : « le ballon de football est conforme à la réglementation » et , l’événement contraire de C.

>1. Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilités.

>2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

>3. Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,962.

>4. Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à 10&minus 3.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Calculs de probabilités  E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 1.partie C, 1. à 4.
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation asymptotique  E43  → Partie B.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40d• E40e  → Partie A, 1. et 2.

Calculatrice

• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Justifiez en centrant et en réduisant la variable aléatoire que est équivalent à est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Concluez en utilisant le résultat donné dans l’énoncé.

Partie B

Identifiez la proportion p de ballons de taille standard conformes à la réglementation selon l’entreprise. Précisez la taille n de l’échantillon étudié et la fréquence observée f de ballons de taille standard conformes à la réglementation dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l’appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.