Lois de probabilité à densité
matT_1309_04_04C
ENS. SPÉCIFIQUE
34
CORRIGE
Antilles, Guyane • Septembre 2013
Exercice 3 • 4 points
Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètres et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètres.
On suppose que X suit la loi normale de moyenne μ1
Déterminer à 10−3 près la probabilité p2 pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre).
k | |
---|---|
5,8 | 3,16712E-05 |
5,82 | 0,000159109 |
5,84 | 0,000687138 |
5,86 | 0,00255513 |
5,88 | 0,008197536 |
5,9 | 0,022750132 |
5,92 | 0,054799292 |
5,94 | 0,11506967 |
5,96 | 0,211855399 |
5,98 | 0,344578258 |
6 | 0,5 |
6,02 | 0,655421742 |
6,04 | 0,788144601 |
6,06 | 0,88493033 |
6,08 | 0,945200708 |
6,1 | 0,977249868 |
6,12 | 0,991802464 |
6,14 | 0,99744487 |
6,16 | 0,999312862 |
6,18 | 0,999840891 |
6,2 | 0,999968329 |
Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10−2).
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes clés
Loi normale • Probabilités conditionnelles • Événements indépendants.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Probabilités particulières associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 e → 1. - Probabilité de l'événement contraire d'un événement donné, événements indépendants
E34 • E36 → 3. a) - Probabilité conditionnelle, événements indépendants
E35 • E36 → 3. b)
Calculatrice
- Calcul d'une probabilité associée à une loi normale
C3 → 2.
Notez bien
Si X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ , alors : P(μ – 3σ
> 1. Probabilité avec une loi normale sur un intervalle spécifique
> 2. Calcul d'une probabilité avec une loi normale
Première méthode :
Deuxième méthode :
La probabilité demandée est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité f associée à Y, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 5,88 et x = 6,12.

> 3. a) Calcul d'une probabilité où interviennent des événements indépendants
L'événement « la pièce est conforme pour la longueur et le diamètre » est l'événement . Les événements L et D sont indépendants donc :
La probabilité pour qu'une pièce soit acceptée est approximativement 0,98.
b) Calcul d'une probabilité conditionnelle
On doit ici calculer . Par définition,
.
Or les événements L et D sont indépendants. On sait dans ce cas que et D sont aussi indépendants. On a alors
.
Finalement :