Conformité d’une pièce

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Conformité d’une pièce
 
 

Lois de probabilité à densité

matT_1309_04_04C

ENS. SPÉCIFIQUE

34

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 3 • 4 points

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètres et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètres.

On suppose que X suit la loi normale de moyenne μ1= 36 et d’écart type σ1= 0,2 et que Y suit la loi normale de moyenne μ2= 6 et d’écart type σ2= 0,05.

>1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre μ1 − 3σ1 et μ1+1. Quelle est une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité p1 pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

>2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l’aide d’un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure ou égal à cette valeur.

Déterminer à 10−3 près la probabilité p2 pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s’aider du tableau ci-contre).

 

k

5,8

3,16712E-05

5,82

0,000159109

5,84

0,000687138

5,86

0,00255513

5,88

0,008197536

5,9

0,022750132

5,92

0,054799292

5,94

0,11506967

5,96

0,211855399

5,98

0,344578258

6

0,5

6,02

0,655421742

6,04

0,788144601

6,06

0,88493033

6,08

0,945200708

6,1

0,977249868

6,12

0,991802464

6,14

0,99744487

6,16

0,999312862

6,18

0,999840891

6,2

0,999968329

 

>3. On prélève une pièce au hasard. On appelle L l’événement « la pièce est conforme pour la longueur » et D l’événement « la pièce est conforme pour le diamètre ». On suppose que les événements L et D sont indépendants.

a) Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.

Déterminer la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10−2).

b) Justifier que la probabilité qu’elle soit conforme pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas conforme pour la longueur, est égale à p2.

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Loi normale • Probabilités conditionnelles • Événements indépendants.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Probabilités particulières associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40e  → 1.
  • Probabilité de l’événement contraire d’un événement donné, événements indépendants  E34 • E36  → 3. a)
  • Probabilité conditionnelle, événements indépendants  E35 • E36  → 3. b)

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → 2.
Corrigé
 

Notez bien

Si X suit la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ , alors : P(μ – 3σ X μ + 3σ) ≈ 0,997.

>1. Probabilité avec une loi normale sur un intervalle spécifique

.

La probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur est approximativement 0,997.

>2. Calcul d’une probabilité avec une loi normale

Première méthode :

La probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre est approximativement 0,984.

Deuxième méthode :

La probabilité demandée est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité f associée à Y, l’axe des abscisses et les droites d’équations x  = 5,88 et x = 6,12.


 

À la calculatrice, on obtient : .

>3. a) Calcul d’une probabilité où interviennent des événements indépendants

L’événement « la pièce est conforme pour la longueur et le diamètre » est l’événement . Les événements L et D sont indépendants donc :

.

La probabilité pour qu’une pièce soit acceptée est approximativement 0,98.

La probabilité pour qu’une pièce ne soit pas acceptée est donc approximativement 0,02.

b) Calcul d’une probabilité conditionnelle

On doit ici calculer . Par définition, .

Or les événements L et D sont indépendants. On sait dans ce cas que et D sont aussi indépendants. On a alors .

Finalement :

.

La probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit conforme pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas conforme pour la longueur est égale àp2.