Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Conformité d’une pièce

Lois de probabilité à densité

matT_1309_04_04C

ENS. SPÉCIFIQUE

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 3 • 4 points

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètres et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètres.

On suppose que X suit la loi normale de moyenne μ₁= 36 et d’écart type σ₁= 0,2 et que Y suit la loi normale de moyenne μ₂= 6 et d’écart type σ₂= 0,05.

>1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre μ₁ − 3σ₁ et μ₁+ 3σ₁. Quelle est une valeur approchée à 10⁻³ près de la probabilité p₁ pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

>2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l’aide d’un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure ou égal à cette valeur.

Déterminer à 10⁻³ près la probabilité p₂ pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s’aider du tableau ci-contre).

k
5,8	3,16712E-05
5,82	0,000159109
5,84	0,000687138
5,86	0,00255513
5,88	0,008197536
5,9	0,022750132
5,92	0,054799292
5,94	0,11506967
5,96	0,211855399
5,98	0,344578258
6	0,5
6,02	0,655421742
6,04	0,788144601
6,06	0,88493033
6,08	0,945200708
6,1	0,977249868
6,12	0,991802464
6,14	0,99744487
6,16	0,999312862
6,18	0,999840891
6,2	0,999968329

>3. On prélève une pièce au hasard. On appelle L l’événement « la pièce est conforme pour la longueur » et D l’événement « la pièce est conforme pour le diamètre ». On suppose que les événements L et D sont indépendants.

a) Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.

Déterminer la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10⁻²).

b) Justifier que la probabilité qu’elle soit conforme pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas conforme pour la longueur, est égale à p₂.

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Loi normale • Probabilités conditionnelles • Événements indépendants.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Probabilités particulières associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40e  → 1.
Probabilité de l’événement contraire d’un événement donné, événements indépendants  E34 • E36  → 3. a)
Probabilité conditionnelle, événements indépendants  E35 • E36  → 3. b)

Calculatrice

Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → 2.

Corrigé

Notez bien

Si X suit la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ , alors : P(μ – 3σ ≤X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997.

>1. Probabilité avec une loi normale sur un intervalle spécifique

La probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur est approximativement 0,997.

>2. Calcul d’une probabilité avec une loi normale

Première méthode :

La probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre est approximativement 0,984.

Deuxième méthode :

La probabilité demandée est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité f associée à Y, l’axe des abscisses et les droites d’équations x  = 5,88 et x = 6,12.