Conformité de boîtes surgelées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Conformité de boîtes surgelées

Intervalles de fluctuation et de confiance

Corrigé

39

Ens. spécifique

matT_1200_00_95C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

L’entreprise Stekegel produit des steaks surgelés. Elle les conditionne par boîte de 4 steaks pour une masse indiquée sur l’étiquette de 400 g. On admet que la variable aléatoire M qui, à toute boîte choisie au hasard dans la production de l’entreprise, associe sa masse en grammes, suit la loi normale d’espérance μ = 400 g et d’écart-type σ = 2 g.

>1. Une boîte est considérée non conforme pour la masse (événement C) si sa masse n’est pas comprise entre 395 g et 405 g. Déterminer la probabilité de l’événement C. On arrondira le résultat à quatre décimales. (1 point)

>2. L’entreprise Stekegel affirme que la proportion p de boîtes non conformes pour la masse dans sa production est égale à 0,0124. Un hypermarché commercialise les boîtes de l’entreprise Stekegel. Il effectue ponctuellement des tests pour contrôler la masse de ces boîtes. Un jour donné, il constate que sur 1 024 boîtes, 998 boîtes exactement sont conformes pour la masse.

a) Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 1 024, associe la fréquence de boîtes non conformes pour la masse. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la variable aléatoire F. On donnera les bornes de cet intervalle arrondies à 4 décimales. (1 point)

b) Déterminer la fréquence de boîtes non conformes pour la masse dans l’échantillon choisi par l’hypermarché. (0,5 point)

c) Au vu des résultats précédents, l’hypermarché doit-il remettre en question l’affirmation de l’entreprise Stekegel ? (0,5 point)

>3. L’entreprise Stekegel a tout récemment changé ses chaînes de production. Elle ne connaît pas pour l’instant la nouvelle proportion p de boîtes non conformes pour la masse dans sa production. Elle souhaite estimer cette nouvelle proportion p. Elle teste pour cela 625 boîtes issues des nouvelles chaînes de production : 40 boîtes ne sont pas conformes pour la masse.

a) Préciser, sur cet échantillon, la fréquence observée f de boîtes non conformes pour la masse. (0,5 point)

b) Déterminer l’intervalle de confiance correspondant à cet échantillon, au niveau de confiance 0,95, de la proportion p de boîtes non conformes pour la masse dans la production de l’entreprise Stekegel. (1 point)

c) Au vu des questions précédentes, les modifications apportées sur les chaînes de production vous semblent-elles utiles ? Justifier. (0,5 point)

Corrigé

>1. Calculer la probabilité d’un événement

Par définition, la probabilité de l’événement C est l’aire du domaine  : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire M, l’axe des abscisses et qui ont une abscisse strictement inférieure à 395 ou qui ont une abscisse strictement supérieure à 405.


, soit (avec une calculatrice).

>2. Déterminer un intervalle de fluctuation

a) La taille de l’échantillon est .

On a : et .

Les conditions sur et étant vérifiées, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est donc :

b) La fréquence de boîtes non conformes pour la masse dans l’échantillon choisi par l’hypermarché est :

c) Comme la fréquence n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 déterminé à la question 2.a), l’hypermarché, à partir de son échantillon, peut remettre en cause l’affirmation faite par l’entreprise Stekegel à savoir : « la proportion de boîtes non conformes pour la masse dans sa production est égale à 0,0124 ». En remettant en cause cette affirmation, le risque que l’hypermarché se trompe est de l’ordre de 5 %.

>3. Déterminer un intervalle de confiance

a) La fréquence observée de boîtes non conformes pour la masse dans cet échantillon est .

b) La taille de l’échantillon est On a , et . Les conditions sur n et f étant vérifiées, l’intervalle de confiance correspondant à cet échantillon, au niveau de confiance 0,95, de la proportion p de boîtes non conformes pour la masse dans la production de l’entreprise Stekegel est donc :

c) Aucune information ne peut être donnée sur la localisation de la proportion p dans l’intervalle [0,024 ; 0,104]. Par contre, avec un niveau de confiance 0,95, on énoncera à juste titre que, suite aux modifications apportées sur les chaînes de production, cette proportion est comprise entre 0,024 et 0,104, donc strictement supérieure à 0,0124 (question 1.). Par conséquent, les modifications apportées ne semblent pas être utiles.