Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste
 
 

Matrices et graphes • Graphes probabilistes

Corrigé

39

Ens. de Spécialité

matT_1305_02_06C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

  • si Léa s’est connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
  • si Léa ne s’est pas connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n  1, on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu’elle ne se connecte pas le n-ième jour.

On a donc : .

Le 1er jour, Léa ne s’est pas connectée, on a donc .

>1.a) Traduire les données par un graphe probabiliste. (0,5 point)

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. (0,5 point)

>2. Démontrer que, pour tout entier n  1, on a . (0,75 point)

>3. On considère la suite définie, pour tout entier , par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer , puis , en fonction de n. (0,5 point)

>4.a) Déterminer en justifiant la limite de . (0,75 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Graphe probabiliste • Matrice associée à un graphe • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1.a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>1.b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une colonne est égale à 1.

>1.c) La probabilité que Léa se connecte le 3e jour est .

>4.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Corrigé

>1.a) Représenter des données par un graphe probabiliste

 

Notez bien

Les deux sommets de ce graphe correspondent aux deux situations possibles un jour donné : événement A « Léa se connecte », événement B « Léa ne se connecte pas ». A et B sont  eux événements contraires.

Les données peuvent être représentées par le graphe suivant :


 

b) Donner la matrice de transition associée à un graphe

La matrice de transition associée au graphe est :

c) Calculer une probabilité

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel  :

Or, car Léa ne s’est pas connectée le premier jour.

D’où :

 

Notez bien

On remarque qu’on a bien .

Puis :

.

La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est 0,88.

>2. Établir une relation de récurrence vérifiée par les termes d’une suite

On a vu que, pour tout entier  :

.

Or , donc :

>3.a) Montrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier  :

 

Notez bien

La démonstration précédente n’est pas une démonstration par récurrence.

est donc une suite géométrique de raison.

Son premier terme est.

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

On en déduit que, pour tout entier , d’où :

>4.a) Déterminer la limite d’une suite

(suite géométrique de raison 0,1 avec 0 < 0,1 < 1), donc :

b) Donner une interprétation de la limite d’une suite

À long terme, la probabilité que Léa se connecte un jour donné se stabilisera autour de.