Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

• si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
• si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n ≥ 1, on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour.

On a donc : .

Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc .

>1.a) Traduire les données par un graphe probabiliste. (0,5 point)

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. (0,5 point)

>2. Démontrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a . (0,75 point)

>3. On considère la suite définie, pour tout entier , par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer , puis , en fonction de n. (0,5 point)

>4.a) Déterminer en justifiant la limite de . (0,75 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)