Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste
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Matrices et graphes &bull Graphes probabilistes

Corrigé

39

Ens. de Spécialité

matT_1305_02_06C

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Amérique du Nord &bull Mai 2013

Exercice 3 &bull 5 points

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

  • si Léa s&rsquo est connectée un certain jour, la probabilité qu&rsquo elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
  • si Léa ne s&rsquo est pas connectée un certain jour, la probabilité qu&rsquo elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n &ge  1, on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu&rsquo elle ne se connecte pas le n-ième jour.

On a donc : .

Le 1er jour, Léa ne s&rsquo est pas connectée, on a donc .

&gt 1.a) Traduire les données par un graphe probabiliste. (0,5 point)

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. (0,5 point)

&gt 2. Démontrer que, pour tout entier n &ge  1, on a . (0,75 point)

&gt 3. On considère la suite définie, pour tout entier , par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer , puis , en fonction de n. (0,5 point)

&gt 4.a) Déterminer en justifiant la limite de . (0,75 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle &bull Graphe probabiliste &bull Matrice associée à un graphe &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

&gt 1.a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 1.b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d&rsquo une colonne est égale à 1.

&gt 1.c) La probabilité que Léa se connecte le 3e jour est .

&gt 4.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.