Construction d'un toboggan

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française

Fonction exponentielle

matT_1506_13_02C

Ens. spécifique

14

Polynésie française • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Construction d’un toboggan

matT_1506_13_00C_03

Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière.

Partie A : Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f(x= (ax + b)exa et b sont deux entiers naturels.

La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

matT_1506_13_00C_04

1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b.

2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a.

Partie B : Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ [1 ; 8] par f(x= 10xex.

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g(x= 10(– x – 1)ex. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.

2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?

Partie C : Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point M de la courbe C, d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

matT_1506_13_00C_05

Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.

1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8], f′(x= 10(1 – x)ex. Étudier les variations de la fonction f′ sur l’intervalle [1 ; 8].

2. Soit x un réel de l’intervalle ]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C. Justifier que 2045389-Eqn10.

3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

Les clés du sujet

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonctions exponentielles • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Tangente  E6b Partie A, 1. ; Partie C, 2.

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 1. ; Partie B, 1. ; Partie C, 1.

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e Parties A, B et C.

Intégration  E11a • E11b • E13 • E14 Partie B

Nos coups de pouce

Partie B

2. Écrivez, en justifiant, l’aire de la partie hachurée à l’aide d’une intégrale. Prenez en compte votre réponse à la question 1. de la partie B pour calculer cette intégrale. N’oubliez pas de conclure en établissant le montant du devis.

Partie C

2. Déterminez dans un premier temps les coordonnées des points P, L et M dans le repère orthonormé. Puis, calculez les distances PM et PL en fonction de 2045389-Eqn24 Concluez à l’aide de la définition de la tangente d’un angle.

3. Justifiez que la fonction 2045389-Eqn25 correspond à la fonction 2045389-Eqn26. À l’aide de la question 1. de la partie C, donnez les variations de cette fonction sur l’intervalle considéré. Déduisez-en que la tangente de l’angle aigu est maximale pour 2045389-Eqn27

Corrigé

Corrigé

partie A : modélisation

1. Déterminer un paramètre sous contrainte

Par composée et produit de fonctions usuelles (fonction exponentielle, fonctions affines), la fonction 2045389-Eqn151 est dérivable sur et donc sur l’intervalle 2045389-Eqn152

Notez bien

Si 2045389-Eqn153 est dérivable sur un intervalle 2045389-Eqn1542045389-Eqn155 est dérivable sur 2045389-Eqn156 et 2045389-Eqn157

Notons 2045389-Eqn158 et 2045389-Eqn159 les fonctions dérivables sur l’intervalle 2045389-Eqn160 et définies par 2045389-Eqn161 et 2045389-Eqn162 Leurs dérivées sont données par : 2045389-Eqn163 et 2045389-Eqn164

Ainsi, pour tout réel 2045389-Eqn165 de l’intervalle 2045389-Eqn166 nous avons :

2045389-Eqn167

Le souhait est que la tangente à la courbe représentative de la fonction 2045389-Eqn168 en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente est nul. Or, ce coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction 2045389-Eqn169 en 1 : 2045389-Eqn170 La contrainte est par suite 2045389-Eqn171 D’après le point précédent, nous avons :

2045389-Eqn172

La valeur de l’entier 2045389-Eqn173 est 0.

2. Déterminer un paramètre sous contrainte

D’après la question 1. de la partie A, 2045389-Eqn174 La fonction 2045389-Eqn175 s’écrit désormais pour tout réel 2045389-Eqn176 de 2045389-Eqn177 :

2045389-Eqn178

La deuxième contrainte imposée pour la construction de ce toboggan est que sa hauteur soit située entre 3,5 et 4 mètres de haut. Autrement dit, l’image de 1 par la fonction 2045389-Eqn181 doit être comprise entre 3,5 et 4. Or, 2045389-Eqn182

Notez bien

Pour tout réel 2045389-Eqn1792045389-Eqn180

La contrainte est par suite : 2045389-Eqn183 qui est équivalente à 2045389-Eqn184 ou encore 2045389-Eqn185 À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons 2045389-Eqn186 et 2045389-Eqn187La valeur de l’entier 2045389-Eqn188 est 10.

partie B : un aménagement pour les visiteurs

1. Dériver une fonction

La fonction 2045389-Eqn189 est dérivable sur donc sur l’intervalle 2045389-Eqn190 comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur . Notons 2045389-Eqn191 et 2045389-Eqn192 les fonctions dérivables sur l’intervalle 2045389-Eqn193 et définies par 2045389-Eqn194 et 2045389-Eqn195 Leurs dérivées sont données par :

2045389-Eqn196 et 2045389-Eqn197

Ainsi, pour tout réel 2045389-Eqn198 de l’intervalle 2045389-Eqn199 nous avons :

2045389-Eqn200

La fonction 2045389-Eqn201 est une primitive de la fonction 2045389-Eqn202 sur l’intervalle 2045389-Eqn203.

2. Calculer une intégrale

Pour déterminer le montant du devis de l’artiste, il est nécessaire de calculer l’aire de la partie hachurée sur le premier schéma. En effet, cet artiste facture 50 euros le mètre carré peint. Cette partie hachurée correspond, sur le deuxième schéma, au domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction 2045389-Eqn204 et les droites d’équation 2045389-Eqn205 et 2045389-Eqn206 Or la fonction 2045389-Eqn207 est dérivable donc continue sur l’intervalle 2045389-Eqn208 et également positive (2045389-Eqn209). Alors, l’aire de ce domaine est égale à : 2045389-Eqn210

D’après la question 1. de la partie B, nous avons :

2045389-Eqn211

Comme 2045389-Eqn212 l’artiste devra peindre environ 7,33 m2 (arrondi supérieur). Le mètre carré peint étant facturé 50 euros auquel il faut ajouter un forfait de 300 euros, le montant du devis sera de 666,37 euros.

partie C : une contrainte à vérifier

1. Étudier les variations d’une fonction

La fonction 2045389-Eqn213 est dérivable sur donc sur l’intervalle 2045389-Eqn214 comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur . Similairement à la question 1. de la partie A et à la question 1. de la partie B, nous avons, pour tout réel 2045389-Eqn215 de l’intervalle 2045389-Eqn216

2045389-Eqn217

Comme, pour tout réel 2045389-Eqn218 de l’intervalle 2045389-Eqn2192045389-Eqn220 et 2045389-Eqn221 le signe de 2045389-Eqn222 correspond au signe de 2045389-Eqn223 Or, 2045389-Eqn224 si et seulement si 2045389-Eqn225

Comme pour tout réel 2045389-Eqn226 de 2045389-Eqn2272045389-Eqn228la fonction 2045389-Eqn229est strictement croissante sur l’intervalle 2045389-Eqn230.

Comme pour tout réel 2045389-Eqn231 de 2045389-Eqn2322045389-Eqn233la fonction 2045389-Eqn234est strictement décroissante sur l’intervalle 2045389-Eqn235.

2. Justifier une égalité

Soit 2045389-Eqn236 un réel de l’intervalle 2045389-Eqn237

Le point M d’abscisse 2045389-Eqn239 appartient à la courbe C. Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont : 2045389-Eqn240

Le point P a la même abscisse que le point M et il appartient à l’axe des abscisses. Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont :2045389-Eqn243

Le point L appartient à la tangente en M à C dont l’équation réduite est :

2045389-Eqn246

Par suite, les coordonnées du point L vérifient cette équation, à savoir :

2045389-Eqn248

Or, le point L appartient également à l’axe des abscisses : 2045389-Eqn250

Nous avons ainsi :

2045389-Eqn251

Les coordonnées du point L sont 2045389-Eqn253

Enfin, nous avons dans le triangle 2045389-Eqn254 rectangle en P :

2045389-Eqn256

Notez bien

Pour tout nombre réel 2045389-Eqn257

2045389-Eqn258

Ainsi, nous avons la relation suivante : 2045389-Eqn260

3. Vérifier des contraintes

Notez bien

Si 2045389-Eqn261 est une fonction définie sur 2045389-Eqn262 et 2045389-Eqn263 un réel strictement négatif, 2045389-Eqn264 et 2045389-Eqn265 ont des sens de variation contraires sur 2045389-Eqn266

Comme, pour tout réel 2045389-Eqn267 de l’intervalle 2045389-Eqn2682045389-Eqn269 et 2045389-Eqn270 le signe de 2045389-Eqn271 correspond au signe de 2045389-Eqn272 Or, 2045389-Eqn273 si et seulement si 2045389-Eqn274 Par conséquent, la fonction 2045389-Eqn275 est strictement négative sur l’intervalle 2045389-Eqn276 et pour tout réel 2045389-Eqn277 de cet intervalle, 2045389-Eqn278 Or, les fonctions 2045389-Eqn279 et 2045389-Eqn280 ont des sens de variation contraires : la fonction 2045389-Eqn281 est ainsi strictement croissante sur l’intervalle 2045389-Eqn282 et strictement décroissante sur l’intervalle 2045389-Eqn283.

Cela implique que, selon la position du point M, autrement dit selon la valeur de 2045389-Eqn285 dans l’intervalle 2045389-Eqn286 la tangente de l’angle aigu 2045389-Eqn287 admet les mêmes variations que la fonction 2045389-Eqn288 Comme 2045389-Eqn289 cette tangente est maximale pour 2045389-Eqn290 Or, 2045389-Eqn291 et 2045389-Eqn292 (arrondi au degré supérieur).

La valeur maximale de l’angle aigu étant environ 54°, les contraintes imposées sont respectées et le toboggan est conforme.