Construction d'un toboggan

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française

Fonction exponentielle

matT_1506_13_02C

Ens. spécifique

14

Polynésie française • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Construction d’un toboggan

matT_1506_13_00C_03

Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière.

Partie A : Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f(x= (ax + b)exa et b sont deux entiers naturels.

La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

matT_1506_13_00C_04

1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b.

2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a.

Partie B : Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ [1 ; 8] par f(x= 10xex.

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g(x= 10(– x – 1)ex. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.

2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?

Partie C : Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point M de la courbe C, d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

matT_1506_13_00C_05

Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.

1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8], f′(x= 10(1 – x)ex. Étudier les variations de la fonction f′ sur l’intervalle [1 ; 8].

2. Soit x un réel de l’intervalle ]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C. Justifier que 2045389-Eqn10.

3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

Les clés du sujet

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonctions exponentielles • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Tangente  E6b Partie A, 1. ; Partie C, 2.

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 1. ; Partie B, 1. ; Partie C, 1.

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e Parties A, B et C.

Intégration  E11a • E11b • E13 • E14 Partie B

Nos coups de pouce

Partie B

2. Écrivez, en justifiant, l’aire de la partie hachurée à l’aide d’une intégrale. Prenez en compte votre réponse à la question 1. de la partie B pour calculer cette intégrale. N’oubliez pas de conclure en établissant le montant du devis.

Partie C

2. Déterminez dans un premier temps les coordonnées des points P, L et M dans le repère orthonormé. Puis, calculez les distances PM et PL en fonction de 2045389-Eqn24 Concluez à l’aide de la définition de la tangente d’un angle.

3. Justifiez que la fonction 2045389-Eqn25 correspond à la fonction 2045389-Eqn26. À l’aide de la question 1. de la partie C, donnez les variations de cette fonction sur l’intervalle considéré. Déduisez-en que la tangente de l’angle aigu est maximale pour 2045389-Eqn27