Construisons un pentagone régulier !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 2 • 3 points

Construisons un pentagone régulier !

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v), on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que OA0=u.

matT_1604_12_01C_03

On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :

les cinq côtés sont de même longueur ;

les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique ;

pour tout entier k appartenant à {0;1;2;3} on a (OAk;OAk+1)=2π5.

▶ 1. On considère les points B d’affixe −1 et J d’affixe i2.

Le cercle C de centre J et de rayon 12 coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK.

▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.

b) Démontrer que BA22=2+2cos(4π5).

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

matT_1604_12_01C_04

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.

▶ 3. Dans le repère (O;u,v) ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

matT_1604_12_01C_05

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Module d’un nombre complexe  E18  1., 2. a) et 2. b)

Argument d’un nombre complexe  E19  2. a)

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16  1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21  2. a) et 2. b)

Nombres complexes et géométrie  E22  1., 2. a) et 2. b)

Calculatrice

Calcul avec les nombres complexes  C4  1.

Nos coups de pouce

 1. Exprimez en termes de distances le fait que les points B, K et J sont alignés (K appartient au segment [BJ]). N’oubliez pas que le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 12 afin de conclure.

 2. b) Calculez le module |z2zB|, z2 et zB étant les affixes respectives des points A2 et B. Utilisez la forme exponentielle de z2 pour mener à bien ce calcul.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Calculer des distances

L’affixe zB du point B est –1 et l’affixe zJ du point J est i2. La distance BJ est alors donnée par :

BJ=|zBzJ|=|1i2|=(1)2+(12)2=54=52.

Le point K appartenant au segment [BJ], les points B, K et J sont alignés dans cet ordre. Par suite, on a BK + KJ = BJ ce qui est équivalent à BK = BJ – KJ. Comme le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 12, la distance KJ est égale à 12.

À l’aide du premier point, on conclut que BK = 5212=512.

▶ 2. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle

Notons z2 l’affixe du point A2.

Notez bien

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, origine du repère, de rayon 1, muni du sens direct.

Le point A2 appartient au cercle trigonométrique.

Par suite, la distance OA2 est égale à 1 et |z2|=OA2=1.

On a :

arg(z2)=(u,OA2)=(OA0,OA2)(énoncé u=OA0)=(OA0,OA1)+(OA1,OA2)(relation de Chasles)=2π5+2π5(énoncé (OAk,OAk+1)=2π5)=4π5.

Un argument θ2 de l’affixe z2 est ainsi 4π5.

L’affixe z2 du point A2 s’écrit alors sous forme exponentielle :

|z2|×eiθ2=ei4π5.

b) Établir une égalité à l’aide du module

D’une part, l’affixe zB du point B est –1. D’autre part, d’après la question 2. a), l’affixe z2 du point A2 est ei4π5=cos(4π5)+isin(4π5).

Attention !

Pour tout réel a,cos2(a)+sin2(a)=1.

Par conséquent, on a :

BA22=|z2zB|2=|cos(4π5)+isin(4π5)+1|2=(cos(4π5)+1)2+(sin(4π5))2(définition du module)=(cos(4π5))2+2cos(4π5)+1+(sin(4π5))2(identité remarquable)2+2cos(4π5).

On a ainsi démontré que BA222+2cos(4π5).

c) Démontrer une égalité à l’aide d’un logiciel de calcul formel

D’après la première question, on a BK=512=12×(51). En utilisant la deuxième ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance s’écrit également de la manière suivante : BK=352.

D’après la question précédente, on a : BA22=2+2cos(4π5)=2×(1+cos(4π5)). En utilisant la première ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance (au carré) est telle que :

BA22=2×(1+cos(4π5))=2×(1+14(51))=2+12(51)=352.

On en conclut que BA2=BK =352.

▶ 3. Construire un pentagone régulier

D’après l’énoncé, OA0 est égal au vecteur u. Le point A0 est alors le point d’affixe 1 : ses coordonnées sont A0(1 ; 0).

D’une part, d’après l’énoncé, le point A2 appartient au cercle trigonométrique 𝒞T. D’autre part, d’après la deuxième question, le point A2 est tel que BK=BA2.

Pour construire ce point A2 il suffit, par suite, de :

placer le point B d’affixe 1, point de coordonnées (1 ; 0) ;

placer le point J d’affixe i2, point de coordonnées (0 ; 12) ;

tracer le segment [BJ] et le cercle de centre J de rayon 12 ;

placer le point K (point d’intersection du segment et du cercle tracés précédemment) ;

tracer le cercle 𝒞2 de centre B et de rayon BK ;

tracer le cercle trigonométrique 𝒞T ; 

placer le point A2 : point d’intersection de 𝒞T et 𝒞2, d’ordonnée positive.

Première méthode

D’après l’énoncé, A2 et A3 appartiennent au cercle trigonométrique 𝒞T. Par suite, OA2=OA3=1. De plus, (OA0,OA2)=4π5 et (OA0,OA3)=6π5 ou encore 4π5.

Les points A2 et A3 sont ainsi symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Le point A3 est alors simplement le deuxième point d’intersection des cercles 𝒞2 et 𝒞T.

matT_1604_12_01C_12

Les cinq côtés du pentagone étant de même longueur, les points A1 etA4 sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre A0 et de rayon A2A3.

matT_1604_12_01C_13

Deuxième méthode

Une fois les points A0 et A2 placés, nous pouvons construire les points A1, A3 et A4 dans cet ordre. En effet, le point A1 vérifie A1A0=A1A2. Par suite, le point A1 appartient à la médiatrice du segment [A2A0] facilement constructible au compas. Ce point A1 est ainsi l’intersection de cette médiatrice et du cercle trigonométrique. Les points A3 et A4 sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre A2 (respectivement A0) et de rayon A0A1.