Construisons un pentagone régulier !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 2 • 3 points

Construisons un pentagone régulier !

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (Ou,v), on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que OA0=u.

matT_1604_12_01C_03

On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :

les cinq côtés sont de même longueur 

les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique 

pour tout entier k appartenant à {0123} on a (OAkOAk+1)=2π5.

▶ 1. On considère les points B d’affixe −1 et J d’affixe i2.

Le cercle C de centre J et de rayon 12 coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK.

▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.

b) Démontrer que BA22=2+2cos(4π5).

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

matT_1604_12_01C_04

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.

▶ 3. Dans le repère (Ou,v) ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

matT_1604_12_01C_05

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Module d’un nombre complexe  E18  1., 2. a) et 2. b)

Argument d’un nombre complexe  E19  2. a)

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16  1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21  2. a) et 2. b)

Nombres complexes et géométrie  E22  1., 2. a) et 2. b)

Calculatrice

Calcul avec les nombres complexes  C4  1.

Nos coups de pouce

 1. Exprimez en termes de distances le fait que les points B, K et J sont alignés (K appartient au segment [BJ]). N’oubliez pas que le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 12 afin de conclure.

 2. b) Calculez le module |z2zB|, z2 et zB étant les affixes respectives des points A2 et B. Utilisez la forme exponentielle de z2 pour mener à bien ce calcul.

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