Contrats d'entretien de piscines souscrits auprès d'une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 3 • 5 points

Contrats d’entretien de piscines souscrits auprès d’une entreprise

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite (un), où un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n. Ainsi, on a u0 = 75.

1. a) Estimer le nombre de contrats en 2016. (0,5 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1=1,12 un6. (0,5 point)

2. L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

L1

L2

L3

L4

L5

Variables :

Traitement :

n est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 75

Tant que U  100 faire

L6

L7

n prend la valeur n + 1

U prend la valeur 1,12 U – 6

L8

L9

Sortie

Fin Tant que

Afficher ………

a) Recopier et compléter la ligne L9. (0,25 point)

b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. (0,75 point)

Valeur de n

0

Valeur de U

75

c) Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1=1,12 un6 et u0=75.

On pose, pour tout entier naturel n :

vn=un50.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (1 point)

b) En déduire l’expression de vn en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

un=25×1,12n+50. (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation un>100. (0,75 point)

d) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

1. b) Une quantité qui augmente de 12 % est multipliée par 1,12.

2. b) N’oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 100 ; l’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que U>100.

3. a) Si vn=un50, alors un=vn+50.

c) Utilisez la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

1. a) Calculer un terme d’une suite

Le nombre de contrats en 2016 est u1.

u1=u0+u0×121006=1,12 u06=1,12×756=78.

En 2016, le nombre de contrats d’entretien est de 78.

b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel n :

un+1=un+un×121006

un+1=1,12 un6.

2. a) Compléter un algorithme

Dans l’algorithme donné, la variable n contient les rangs des années successives, 2015 étant « l’année 0 », et U contient les valeurs des termes successifs de la suite (un).

Si n est le rang de la première année où le nombre de contrats souscrits dépasse 100, l’algorithme doit afficher 2015+n.

La ligne L9 doit donc être :

L9 Sortie : Afficher 2015 + n

b) Construire un tableau d’étapes d’un algorithme

La réalisation de l’algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

6

7

Valeur de U

75

78

81

85

89

94

99

105

(toutes les valeurs ont été arrondies à l’unité.)

c) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l’algorithme est 7.

Au bout de 7 ans, c’est-à-dire en 2022, le nombre de contrats souscrits dépassera pour la première fois 100 ; l’entreprise devra donc embaucher en 2022.

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+150=1,12 un650=1,12(vn+50)56=1,12vn+5656.

Donc pour tout entier naturel n :

vn+1=1,12 vn.

La suite (vn) est géométrique de raison 1,12 ; son premier terme est v0=u050=25.

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

D’après le cours, pour tout entier naturel n :

vn=25×1,12n.

vn=un50, donc un=vn+50, donc :

un=25×1,12n+50.

c) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

un>100  25×1,12n+50>100   1,12n>2.

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur ]0 ; +[ ; l’ordre est conservé :

nln(1,12)>ln2.

ln(1,12)>0 car 1,12>1, donc l’inéquation équivaut à n>ln(1,12)ln2 .

Or ln(1,12)ln2 6,12, donc dans l’ensemble des entiers naturels, l’inéquation un>100 équivaut à :

n7.

d) Donner une interprétation de l’ensemble des solutions d’une inéquation

On retrouve à la question précédente le résultat obtenu à la question 2. c) grâce à l’algorithme : à partir de 7 ans (après l’année 2015), le nombre de contrats souscrits sera supérieur à 100.