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Contrôle sanitaire

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 3 • 3 points • 35 min

Contrôle sanitaire

Les thèmes clés

Statistiques • Loi normale • Fluctuation

 

Partie A

Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10 000 prélèvements de 1 mL de crème fraîche dans l'ensemble de la production française.

Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l'histogramme ci-dessous :

Nombre de bactéries (en milliers)

[100  120[

[120  130[

[130  140[

[140  150[

[150  160[

[160  180[

Nombre de

prélèvements

1 597

1 284

2 255

1 808

1 345

1 711

matT_1711_03_03C_01

À l'aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l'écart type du nombre de bactéries par prélèvement.

Partie B

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par mL) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire X suivant la loi normale de paramètres μ = 140 et σ = 19.

1. a) Ce choix de modélisation est-il pertinent ? Argumenter.

b) On note p = P(X 160). Déterminer la valeur arrondie de p à 10–3.

2. Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de 50 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie  13 prélèvements contiennent plus de 160 milliers de bactéries.

a) L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.

b) Aurait-il pu l'affirmer avec une probabilité de 0,01 de se tromper ?

Les clés du sujet

Partie A

Déterminez tout d'abord le centre de chaque classe. Ensuite, saisissez dans la liste 1 de votre calculatrice les centres des classes et dans la liste 2 les effectifs correspondants. Utilisez enfin le mode « statistique à une variable » pour conclure.

Partie B

1. a) Commentez dans un premier temps la forme de l'histogramme puis justifiez les paramètres de la loi normale en utilisant les résultats de la partie A.

2. a) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Commentez la non-appartenance de la fréquence observée dans l'échantillon à cet intervalle.

b) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 %. Commentez l'appartenance de la fréquence observée dans l'échantillon à cet intervalle.

Corrigé

partie a

Estimer une moyenne et un écart type

Déterminons tout d'abord le centre de chaque classe :

Nombre de bactéries (en milliers)

Centre de classe

[100120[

100+1202=110

[120130[

120+1302=125

[130140[

130+1402=135

[140150[

140+1502=145

[150160[

150+1602=155

[160180[

160+1802=170

Puis, dans la calculatrice, saisissons, dans la liste 1, les centres des classes et dans la liste 2 le nombre de prélèvements correspondants :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1711_03_03C_02

matT_1711_03_03C_03

Enfin, utilisons le mode « statistique à une variable » pour estimer les deux paramètres demandés :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1711_03_03C_04

matT_1711_03_03C_05

En arrondissant au millier, le nombre moyen de bactéries par prélèvement est de 140 avec un écart type de 19.

partie b

1. a) Justifier un modèle probabiliste E40e

Nous pouvons constater une certaine symétrie par rapport à « la valeur 140 » de l'histogramme représenté dans l'énoncé. De plus, cet histogramme est assez proche d'une forme cloche. Il semblerait alors pertinent de modéliser la situation étudiée par une loi normale. Une telle loi dépend de deux paramètres : l'espérance μ et l'écart type σ. D'après la partie A, il semblerait également pertinent de choisir : μ=140 et σ=19.

Ce choix de modèle semble ainsi pertinent.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

Déterminons la probabilité p : probabilité que dans un prélèvement de 1 mL de crème fraîche le nombre de bactéries en milliers dépasse 160. Nous devons calculer pour cela :

p=P(X160)=    loicontinueP(X>160).

D'après le graphique ci-dessous, nous avons :

pen vert sur legraphique   =symétriede la densité  0,5P(140X160)en orange sur le graphique.

matT_1711_03_03C_06

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1711_03_03C_07

matT_1711_03_03C_08

La probabilité p, arrondie à 103, est donc 0,146.

2. a) Valider une affirmation E43

Le caractère étudié est ici « le nombre de bactéries (en milliers) dans un prélèvement ».

D'après la question B. 1., la probabilité qu'un prélèvement choisi au hasard contienne plus de 160 milliers de bactéries est p0,146.

L'organisme de contrôle sanitaire a analysé 50 prélèvements : la taille de l'échantillon considéré est par suite n=50.

Comme n=5030, n×p50×0,146=7,35 et n×(1p)50×0,854=42,75, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de prélèvements contenant plus de 160 milliers de bactéries dans un échantillon de taille 50 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n  p+1,96p×(1p)n]  [0,1461,960,146×0,85450  0,146+1,960,146×0,85450]  [0,048  0,244].

La fréquence observée dans l'échantillon considéré par l'organisme est égale à :

f=1350=0,26.

Comme f n'appartient pas à l'intervalle I (0,2440,26=f), l'organisme peut déclarer qu'il y a une anomalie dans la production et il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper.

b) Infirmer une affirmation E43

attention !

Pour un seuil de 95 %, le coefficient est 1,96. Pour un seuil de 99 %, le coefficient est 2,58.

Il est ici évoqué une probabilité de 0,01 : il faut de ce fait utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 %. Comme les conditions sur n et p sont vérifiées, cet intervalle est bien défini et donné par :

J=[p2,58p×(1p)n  p+2,58p×(1p)n]  [0,1462,580,146×0,85450   0,146+2,580,146×0,85450]  [0,017   0,275].

La fréquence observée dans l'échantillon considéré par l'organisme est égale à f=0,26.

Comme f appartient à l'intervalle J (0,0170,26=f0,275), l'organisme ne peut pas déclarer qu'il y a une anomalie dans la production en ayant une probabilité de 0,01 de se tromper.

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