Corrigé

partie a

▶ Estimer une moyenne et un écart type

Déterminons tout d'abord le centre de chaque classe :

Puis, dans la calculatrice, saisissons, dans la liste 1, les centres des classes et dans la liste 2 le nombre de prélèvements correspondants :

Enfin, utilisons le mode « statistique à une variable » pour estimer les deux paramètres demandés :

En arrondissant au millier, le nombre moyen de bactéries par prélèvement est de 140 avec un écart type de 19.

partie b

▶ 1. a) Justifier un modèle probabiliste E40e

Nous pouvons constater une certaine symétrie par rapport à « la valeur 140 » de l'histogramme représenté dans l'énoncé. De plus, cet histogramme est assez proche d'une forme cloche. Il semblerait alors pertinent de modéliser la situation étudiée par une loi normale. Une telle loi dépend de deux paramètres : l'espérance μ et l'écart type σ. D'après la partie A, il semblerait également pertinent de choisir : μ=140 et σ=19.

Ce choix de modèle semble ainsi pertinent.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

Déterminons la probabilité p : probabilité que dans un prélèvement de 1 mL de crème fraîche le nombre de bactéries en milliers dépasse 160. Nous devons calculer pour cela :

p=P(X≥160)= loicontinueP(X>160).

D'après le graphique ci-dessous, nous avons :

pen vert sur legraphique=symétriede la densité0,5−P(140≤X≤160)en orange sur le graphique.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

La probabilité p, arrondie à 10−3, est donc 0,146.

▶ 2. a) Valider une affirmation E43

Le caractère étudié est ici « le nombre de bactéries (en milliers) dans un prélèvement ».

D'après la question B. 1., la probabilité qu'un prélèvement choisi au hasard contienne plus de 160 milliers de bactéries est p≈0,146.

L'organisme de contrôle sanitaire a analysé 50 prélèvements : la taille de l'échantillon considéré est par suite n=50.

Comme n=50≥30, n×p≈50×0,146=7,3≥5 et n×(1−p)≈50×0,854=42,7≥5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de prélèvements contenant plus de 160 milliers de bactéries dans un échantillon de taille 50 est ainsi défini et donné par :

I=[p−1,96p×(1−p)np+1,96p×(1−p)n]≈[0,146−1,960,146×0,854500,146+1,960,146×0,85450]≈[0,0480,244].

La fréquence observée dans l'échantillon considéré par l'organisme est égale à :

f=1350=0,26.

Comme f n'appartient pas à l'intervalle I , l'organisme peut déclarer qu'il y a une anomalie dans la production et il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper.

b) Infirmer une affirmation E43

Il est ici évoqué une probabilité de 0,01 : il faut de ce fait utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 %. Comme les conditions sur n et p sont vérifiées, cet intervalle est bien défini et donné par :

J=[p−2,58p×(1−p)np+2,58p×(1−p)n]≈[0,146−2,580,146×0,854500,146+2,580,146×0,85450]≈[0,017 0,275].

La fréquence observée dans l'échantillon considéré par l'organisme est égale à f=0,26.

Comme f appartient à l'intervalle J , l'organisme ne peut pas déclarer qu'il y a une anomalie dans la production en ayant une probabilité de 0,01 de se tromper.