Contrôle sanitaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 3 • 3 points • 35 min

Contrôle sanitaire

Les thèmes clés

Statistiques • Loi normale • Fluctuation

 

Partie A

Un organisme de contrôle sanitaire s’intéresse au nombre de bactéries d’un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10 000 prélèvements de 1 mL de crème fraîche dans l’ensemble de la production française.

Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l’histogramme ci-dessous :

Nombre de bactéries (en milliers)

[100 ; 120[

[120 ; 130[

[130 ; 140[

[140 ; 150[

[150 ; 160[

[160 ; 180[

Nombre de

prélèvements

1 597

1 284

2 255

1 808

1 345

1 711

matT_1711_03_03C_01

À l’aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l’écart type du nombre de bactéries par prélèvement.

Partie B

L’organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par mL) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire X suivant la loi normale de paramètres μ = 140 et σ = 19.

1. a) Ce choix de modélisation est-il pertinent ? Argumenter.

b) On note p = P(X 160). Déterminer la valeur arrondie de p à 10–3.

2. Lors de l’inspection d’une laiterie, l’organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de 50 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; 13 prélèvements contiennent plus de 160 milliers de bactéries.

a) L’organisme déclare qu’il y a une anomalie dans la production et qu’il peut l’affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.

b) Aurait-il pu l’affirmer avec une probabilité de 0,01 de se tromper ?

Les clés du sujet

Partie A

Déterminez tout d’abord le centre de chaque classe. Ensuite, saisissez dans la liste 1 de votre calculatrice les centres des classes et dans la liste 2 les effectifs correspondants. Utilisez enfin le mode « statistique à une variable » pour conclure.

Partie B

1. a) Commentez dans un premier temps la forme de l’histogramme puis justifiez les paramètres de la loi normale en utilisant les résultats de la partie A.

2. a) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Commentez la non-appartenance de la fréquence observée dans l’échantillon à cet intervalle.

b) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 %. Commentez l’appartenance de la fréquence observée dans l’échantillon à cet intervalle.