Convergence de suites imbriquées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Convergence de suites imbriquées
 
 

Matrices et suites

Corrigé

43

Ens. de spécialité

matT_1306_04_11C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

On définit les suite (un) et (vn) sur l’ensemble des entiers naturels par :  ; et

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un) et (vn).

>1. Calculer u1 et v1.

>2. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables

u, v et w des nombres réels

N et k des nombres entiers

Initialisation

u prend la valeur 0

v prend la valeur 1

Début de l’algorithme

Entrer la valeur de N

Pour k variant de 1 à N

w prend la valeur u

u prend la valeur

v prend la valeur

Fin du Pour

Afficher u

Afficher v

Fin de l’algorithme

 

a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-après contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

 

k

w

u

v

1

2

 

b) Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

>3. Pour tout entier naturel n, on définit le vecteur colonne Xn par et la matrice A par .

a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn.

b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n.

>4. On définit les matrices P, P′ et B par :

, et .

a) Calculer le produit PP′.

On admet que PBP = A.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, An = PBnP.

b) On admet que pour tout entier naturel n, .

En déduire l’expression de la matrice An en fonction de n.

>5.a) Montrer que pour tout entier naturel n.

En déduire les expressions de un et vn en fonction de n.

b) Déterminer alors les limites des suites (un) et (vn).

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1 3. b) et 4. a)
  • Suites géométriques et limites  E4d  → 5. b)
  • Suites et limites  E2c  → 5. b)

Calculatrice

Calculs sur les matrices  C5 4. a)

Nos coups de pouce

>1. Utilisez les relations de récurrence fournies en remplaçant n par 0.

>4. a) Pour l’hérédité, pensez à exploiter le résultat sur le produit PP et faites apparaître clairement l’associativité du produit matriciel. Utilisez également le résultat admis : A=PBP.

Corrigé

>1. Calculer des termes de suites définies par des relations de récurrence

.

>2.a) Faire fonctionner un algorithme pas à pas

 

1

2

 

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Pour un nombre N donné, cet algorithme affiche en sortie le nombre  qui est la valeur du terme et le nombre  qui est la valeur du terme .

>3.a) Établir une égalité matricielle

Pour tout entier naturel n :

b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : par convention est la matrice identité d’ordre 2.

On a alors .

La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité : on suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k + 1) est vérifiée.

On a . La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

>4.a) Effectuer un produit matriciel. Démontrer une égalité matricielle par récurrence

  • Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : par convention et est la matrice identité d’ordre 2.

On a alors .

La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité : on suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k + 1) est vérifiée.

On a :

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

b) Effectuer un produit matriciel

Pour tout entier naturel n :

>5.a) Déterminer la forme explicite d’une suite

Pour tout entier naturel n :

Donc : .

b) Déterminer la limite d’une suite

Comme , on en déduit que . Par produit et somme, on obtient finalement que et .