Convexité d'une fonction comportant une exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 3 • 4 points

Convexité d’une fonction comportant une exponentielle

On s’intéresse à la fonction 4555019-Eqn35 définie sur 4555019-Eqn36 par 4555019-Eqn37.

Partie A

▶ 1. Calculer 4555019-Eqn38 et en donner une valeur approchée à 4555019-Eqn39 près. (0,75 point)

▶ 2. Justifier que 4555019-Eqn404555019-Eqn41 est la fonction dérivée de 4555019-Eqn42. (0,75 point)

▶ 3. En déduire les variations de la fonction 4555019-Eqn43. (0,75 point)

Partie B

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes 4555019-Eqn44 ont été représentées. L’une de ces courbes représente la fonction 4555019-Eqn45, une autre sa dérivée et une troisième sa dérivée seconde.

▶ 1. Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction 4555019-Eqn46. (1,25 point)

 2. Indiquer un intervalle sur lequel la fonction 4555019-Eqn47 est convexe. (0,5 point)

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Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

Partie B

Déterminer la convexité d’une fonction, c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe, sur quel(s) intervalle(s) la fonction est concave.

Cette étude peut être faite soit à partir de la courbe représentative de la fonction, soit à l’aide des variations de sa dérivée, soit à l’aide du signe de sa dérivée seconde.

Corrigé

Corrigé

Partie A

▶ 1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

4555019-Eqn166, d’où :

4555019-Eqn167

▶ 2. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction 4555019-Eqn169 est dérivable sur 4555019-Eqn170 et, pour tout réel 4555019-Eqn171 :

4555019-Eqn172

4555019-Eqn173

4555019-Eqn174

4555019-Eqn175

▶ 3. Étudier les variations d’une fonction

4555019-Eqn176 pour tout réel 4555019-Eqn177, donc 4555019-Eqn178 est du signe de 4555019-Eqn179

4555019-Eqn180est donc strictement décroissante sur 4555019-Eqn181, strictement croissante sur 4555019-Eqn182, et elle admet un minimum en 4555019-Eqn183.

Partie B

▶ 1. Étudier la convexité d’une fonction

Dans un premier temps, on détermine parmi les trois courbes 4555019-Eqn184, laquelle représente 4555019-Eqn185, laquelle représente 4555019-Eqn186, laquelle représente 4555019-Eqn187. D’après l’étude des variations de 4555019-Eqn188 (partie A, question 3.), la courbe représentative de f est la courbe 4555019-Eqn189.

4555019-Eqn190 s’annule et change de signe en 4555019-Eqn191, elle est strictement négative sur 4555019-Eqn192 et strictement positive sur 4555019-Eqn193, donc la courbe représentative de 4555019-Eqn194est 4555019-Eqn195.

La dérivée seconde 4555019-Eqn196 est donc représentée par la courbe 4555019-Eqn197.

▶ 2. Convexité de la fonction f

Pour déterminer la convexité de 4555019-Eqn198, on peut utiliser :

la courbe 4555019-Eqn1994555019-Eqn200est au-dessus de ses tangentes sur 4555019-Eqn201, en dessous de ses tangentes sur 4555019-Eqn202 ;

la courbe 4555019-Eqn203 par lecture graphique, on observe que 4555019-Eqn204 est strictement croissante sur 4555019-Eqn205, strictement décroissante sur 4555019-Eqn206 ;

la courbe 4555019-Eqn207 par lecture graphique, on observe que 4555019-Eqn208 est positive sur 4555019-Eqn209, négative sur 4555019-Eqn210.

Gagnez des points !

On en déduit également que le point de coordonnées 4555019-Eqn211 est un point d’inflexion de la courbe 4555019-Eqn212 représentant la fonction 4555019-Eqn213 ; en ce point, la courbe 4555019-Eqn214 « traverse sa tangente ».

À partir de l’une de ces trois observations, on peut affirmer que la fonction 4555019-Eqn215 est convexe sur 4555019-Eqn216 et concave sur 4555019-Eqn217.