Convexité d'une fonction comportant une exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 3 • 4 points

Convexité d’une fonction comportant une exponentielle

On s’intéresse à la fonction 4555019-Eqn35 définie sur 4555019-Eqn36 par 4555019-Eqn37.

Partie A

▶ 1. Calculer 4555019-Eqn38 et en donner une valeur approchée à 4555019-Eqn39 près. (0,75 point)

▶ 2. Justifier que 4555019-Eqn404555019-Eqn41 est la fonction dérivée de 4555019-Eqn42. (0,75 point)

▶ 3. En déduire les variations de la fonction 4555019-Eqn43. (0,75 point)

Partie B

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes 4555019-Eqn44 ont été représentées. L’une de ces courbes représente la fonction 4555019-Eqn45, une autre sa dérivée et une troisième sa dérivée seconde.

▶ 1. Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction 4555019-Eqn46. (1,25 point)

 2. Indiquer un intervalle sur lequel la fonction 4555019-Eqn47 est convexe. (0,5 point)

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Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

Partie B

Déterminer la convexité d’une fonction, c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe, sur quel(s) intervalle(s) la fonction est concave.

Cette étude peut être faite soit à partir de la courbe représentative de la fonction, soit à l’aide des variations de sa dérivée, soit à l’aide du signe de sa dérivée seconde.