NOMBRES ET CALCULS
Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
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Nouvelle-Calédonie • Décembre 2017
Exercice 5 • 4 points
Coquillages et poissons
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Aurel : Belle pêche ! Combien de poissons et de coquillages vas-tu pouvoir vendre au marché ?
Antoine : En tout, je vais pouvoir vendre au marché 30 poissons et 500 coquillages.
Antoine est un pêcheur professionnel.
Il veut vendre des paniers contenant des coquillages et des poissons.
Il souhaite concevoir le plus grand nombre possible de paniers identiques.
Enfin, il voudrait qu'il ne lui reste aucun coquillage et aucun poisson dans son congélateur.
▶ 1. Combien de paniers au maximum Antoine pourra-t-il concevoir ? Justifier.
▶ 2. Quelle sera la composition de chaque panier ? Justifier.
Les clés du sujet
Point du programme
PGCD.
Nos coups de pouce
▶ 1. Calcule PGCD (30 ; 500).
Corrigé
▶ 1. Antoine veut vendre des paniers en utilisant tous les coquillages et tous les poissons.
On cherche donc un diviseur commun à 30 et 500.
Antoine veut aussi vendre un maximum de paniers identiques.
On cherche donc le plus grand diviseur commun à 30 et 500.
Décomposons 30 et 500 en produits de facteurs premiers :
| 30 = 2 × 15 = 2 × 3 × 5 | 500 = 2 × 250 = 2 × 2 × 125 = 2 × 2 × 5 × 25 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 22 × 53 |
remarque
Tu aurais aussi pu utiliser l'algorithme d'Euclide pour calculer PGCD(30 ; 500).
Donc : PGCD(30 ; 500) = 2 × 5 = 10.
Finalement, Antoine fera au maximum 10 paniers.
▶ 2. 30 ÷ 10 = 3
500 ÷ 10 = 50
Chaque panier sera donc composé de 3 poissons et 50 coquillages.