Coucher de soleils sur Tatooine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

 

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France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 3 spécifique • 5 points

Coucher de soleils sur Tatooine

Dans la saga Star Wars, deux héros, Luke et Anakin Skywalker, ont passé leur enfance sur la planète Tatooine. Cette planète désertique a la particularité d’être en orbite autour de deux étoiles : Tatoo 1 et Tatoo 2. On se propose de déterminer quelques caractéristiques de cette planète et de ses deux étoiles à partir de données extraites du film.

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© Lucasfilm/20th Century Fox / The Kobal Collection / Aurimages

Image du film Star Wars. Épisode IV : A new hope Luke Skywalker marchant au coucher de soleils

Données

Masse et rayon du Soleil et de la Terre :

 

Soleil

Terre

Masse (kg)

2,0 × 1030

6,0 × 1024

Rayon (km)

7,0 × 105

6,4 × 103

Constante gravitationnelle : G = 6,67 × 10–11 m3 ⋅ s–2 ⋅ kg–1.

Volume d’une sphère de rayon : 209362-Eqn1.

Document L’orbite de Tatooine

Impossible d’évoquer la célèbre planète Tatooine, repère de brigands galactiques sur lequel règne le fameux Jabba le Hutt, sans parler de ses deux soleils (ou étoiles).

Cette particularité n’est pas si étonnante quand on considère que les deux tiers des étoiles visibles à l’œil nu font partie d’un système multiple. Le problème n’est donc pas de trouver une étoile double, mais de comprendre comment une planète peut évoluer dans un tel système.

[…] L’orbite de Tatooine pourrait englober ses deux soleils à la fois. Ce type d’orbite n’est stable que si la distance qui sépare la planète de ses soleils est au moins quatre fois plus grande que celle qui sépare les étoiles. Du point de vue de la planète, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu’une. Peut-on estimer le rayon de l’orbite de Tatooine ? Oui, bien sûr !

[…] Remarquons d’abord que les deux étoiles sont assez semblables à notre Soleil : l’une est jaune et l’autre est orange, laissant supposer qu’elle est un peu plus froide. Si ces deux étoiles étaient trop proches l’une de l’autre, elles devraient être déformées par leur gravité mutuelle. Comme aucune déformation n’est perceptible dans la scène du coucher des soleils, on peut calculer que leur distance est légèrement supérieure à 10 millions de kilomètres. Pour avoir une orbite stable Tatooine doit donc être distante de ces deux étoiles d’au moins 40 millions de kilomètres. En fait, elle ne doit pas être si près, sous peine d’être vraiment trop chaude et totalement inhabitable. Deux cent millions de kilomètres est une bonne position : à cette distance Tatooine reçoit une énergie lumineuse un peu supérieure à celle qui frappe la Terre, ce qui expliquerait son aspect désertique.

D’après « Carte blanche à Roland Lehoucq », astrophysicien, http://www.knowtex.com/nav/les-secrets-de-star-wars_26418

1. Les Étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2

1 En supposant que Tatoo 1 et Tatoo 2 ne sont pas déformées et sont à égale distance de Tatooine, montrer, en s’appuyant sur la photo et sur le texte, que la valeur du rayon de chacune des deux étoiles est environ égale à deux millions de kilomètres. Justifier avec soin la démarche utilisée. (1 point)

2 On adoptera pour la suite de l’exercice cette valeur commune pour le rayon des deux étoiles.

En supposant que les deux étoiles ont la même masse volumique moyenne que le Soleil, évaluer l’ordre de grandeur de la masse MTatoo de Tatoo (1 ou 2). Commenter le résultat obtenu. (0,75 point)

2. Tatooine en orbite

Du point de vue de Tatooine, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu’une, l’étoile unique équivalente sera appelée Tatoo 1-2 ; sa masse sera prise égale à 9,5 × 1031 kg.

1 Justifier la phrase précédente à l’aide d’informations données dans le texte. (0,5 point)

2 Faire un schéma du système Tatooine-Tatoo 1-2 et représenter sans souci d’échelle la force d’attraction gravitationnelle exercée par Tatoo 1-2 sur Tatooine ainsi que le vecteur accélération de la planète Tatooine dans le référentiel lié à Tatoo 1-2 considéré comme galiléen. (1 point)

3 Montrer que le mouvement, supposé circulaire, de la planète dans ce référentiel est uniforme. (0,75 point)

4 Déduire des résultats précédents, et du texte, la valeur de la période de révolution de Tatooine. Comparer cette valeur à la période de révolution de la Terre autour du Soleil. (1 point)

Clés du sujet

Notions et compétences en jeu

Mécanique céleste.

Conseils du correcteur

Partie 1

1 Déterminez l’échelle de la photo en mesurant la distance entre les deux étoiles sur la photo, puis faites un produit en croix.

2 La masse volumique du système Tatoo 1-2 est la même que celle de la Terre. Exprimez algébriquement ces deux masses volumiques.

Partie 2

3 Pensez à la deuxième loi de Kepler.

4 Pensez à la deuxième loi de Newton.

Corrigé

Corrigé

1. Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2

1 Évaluer une distance à partir d’un document photo

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© Lucasfilm/20th Century Fox / The Kobal Collection / Aurimages

Nous savons d’après le texte que la distance d entre les deux étoiles est d’environ 10 millions de kilomètres (107 km) or sur l’image cette distance mesure 19 mm.

Remarque

On pouvait aussi se servir du théorème de Thalès en estimant la taille de Luke Skywalker (environ 1,80 m) et la distance à laquelle la photo de la scène a été prise (20 m).

Mesurons alors le rayon r d’une des étoiles sur l’image : 3,5 mm. Pour davantage de précision, on mesure le diamètre (7 mm) que l’on divise par deux ensuite.

On déduit donc le rayon des étoiles :

r = 209362-Eqn2.

Ce qui est bien de l’ordre de 2 millions de kilomètres annoncé dans la question.

2 Calculer la masse à partir de la masse volumique

Si la masse volumique des étoiles est identique à celle du Soleil, on peut écrire :

ρsoleil = ρTatoo209362-Eqn3

D’où la masse de Tatoo (1 ou 2) :

MTatoo = 209362-Eqn4 × VTatoo

Gagnez des points !

Répondez à ces questions en utilisant les relations algébriques.

Le Soleil comme Tatoo étant des sphères, leurs volumes s’expriment par 209362-Eqn5. D’où :

MTatoo = 209362-Eqn6 × 209362-Eqn7

MTatoo = 209362-Eqn8

La masse du Soleil étant de 2 × 1030 kg les étoiles de Tatooine sont environ 23 fois plus massives 209362-Eqn9.

2. Tatooine en orbite

1 Expliciter une phrase à partir d’informations données

Nous savons que la distance entre les étoiles est d’environ 10 millions de kilomètres, or la distance entre la planète Tatooine et ces étoiles est de 200 millions de kilomètres. La distance entre les étoiles est donc très inférieure à la distance étoiles-planète. Pour la planète, c’est comme si les étoiles ne formaient qu’une seule étoile.

2 Faire un schéma représentant un satellite et son astre attracteur

209362-Eqn10 représente la force d’attraction gravitationnelle du système Tatoo 1-2 sur la planète Tatooine et 209362-Eqn11 l’accélération de la planète.

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Attention !

L’accélération n’est pas orientée selon la tangente à la trajectoire contrairement à la vitesse !

Les deux vecteurs sont colinéaires et dans le même sens puisque mtatooine 209362-Eqn12 = 209362-Eqn13 ; il s’agit d’un mouvement à accélération centrale (dirigée vers le centre). On parle aussi d’une accélération centripète.

3 Montrer que le mouvement circulaire d’un satellite est uniforme

Pour montrer que le mouvement du satellite est uniforme, il faut démontrer qu’il s’effectue à la même vitesse.

Le schéma ci-dessous représente l’orbite de Tatooine.

On peut alors exprimer la vitesse v1 de Tatooine pour aller de A à B et la vitesse v2 pour aller de C à D :

v1 = 209362-Eqn14 et v2 = 209362-Eqn15

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Or, d’après la deuxième loi de Kepler, ces deux surfaces sont égales si les intervalles de temps sont égaux.

Donc si les aires de ces segments de cercle sont égales, les arcs de cercle 209362-Eqn14b et 209362-Eqn14c sont égaux et par conséquent v1 = v2.

Le mouvement est donc uniforme.

4 Déterminer la période de révolution d’une planète

On sait que, pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération a pour valeur a = 209362-Eqn16 (avec R le rayon de son orbite).

De plus, d’après la deuxième loi de Newton, m × a = G × 209362-Eqn17 (après projection de la relation vectorielle sur un axe radial).

Donc a = G × 209362-Eqn18M est la masse du système Tatoo 1-2.

On a alors G × 209362-Eqn19 = 209362-Eqn20 d’où v = 209362-Eqn21.

Attention !

Apprenez à bien vous servir de votre calculatrice. Un calcul comme celui-ci amène plus de 40 % de réponses fausses pour les candidats du bac juste pour des utilisations hasardeuses de calculatrice !

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Pour obtenir la période de révolution, on exprime la vitesse comme étant égale au périmètre sur la période :

v = 209362-Eqn22

209362-Eqn23 

La période de révolution de la Terre autour du Soleil étant de 365 jours, celle de Tatouine représente 209362-Eqn26 soit un peu moins du quart de celle de la Terre autour du Soleil.