Courbe de Lorenz

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Courbe de Lorenz

Analyse • Intégration

Corrigé

27

Ens. spécifique

matT_1200_00_08C

Sujet inédit

Exercice • 9 points

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction vérifiant les conditions suivantes :

  • est définie sur [0 ; 1] ;
  • est croissante sur [0 ; 1] ;
  •  ;
  • pour tout de [0 ; 1], .

Partie A

Le but de la partie A est de vérifier que les fonctions et considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus.

Les exercices 1 et 2 sont indépendants.

Exercice 1

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

>1. Déterminer la dérivée de et dresser le tableau de variation de sur [0 ; 1]. (0,75 point)

>2. Déterminer le signe de sur [0 ; 1]. (0,5 point)

>3. Conclure. (0,25 point)

Exercice 2

Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par :

>1.a) Calculer . En déduire le sens de variation de sur [0 ; 1]. (0,75 point)

b) Calculer et (0,5 point)

>2. Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par :

a) Le tableau suivant donne le signe de la dérivée de (que l’on ne demande pas de calculer) :


Dresser le tableau de variations de  ; on précisera l’arrondi à 0,1 de . (0,75 point)

b) Vérifier que pour tout de [0 ; 1], (0,25 point)

À l’aide de 2. a), montrer que pour tout de [0 ; 1], . (0,25 point)

>3. Conclure. (0,25 point)

Partie B

Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives et des fonctions et et le segment [OA] où A est le point de coordonnées (1 ; 1).


>1. On suppose que la courbe de Lorenz illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d’un pays G.

En abscisse, représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.

En ordonnée, représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.

Par exemple, comme l’arrondi de à est 0,13, on dit que 30 % des exploitations les plus petites représentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.

Donner la valeur arrondie à 0,01 de Interpréter ce résultat. (0,5 point +0,5 point)

>2. On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le nombre est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe . On le note .

a) Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point + 0,75 point)

b) Donner la valeur arrondie à 0,01 de . (0,5 point)

>3. La représentation graphique de est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer le coefficient de Gini pour le pays F.

En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01. (1 point)

>4. Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire.

a) Quel est le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire ? (0,5 point)

b) Le graphique permettait-il de prévoir ce résultat ? Pourquoi ? (0,5 point)

Durée conseillée : 75 min.

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan.

Les conseils du correcteur

Partie A

Exercice 2, 2. Vérifiez que la valeur approchée de obtenue est cohérente avec les variations de la fonction .

Exercice 1, 3. et exercice 2, 3. Vérifiez que les courbes représentatives des fonctions et sont des courbes de Lorenz.

Partie B

>  1. Calculez une valeur approchée de à partir de l’expression algébrique de la fonction et vérifiez graphiquement le résultat.

>  2. b) Vérifiez que .

>  3. La méthode est la même qu’à la question 2.

Corrigé

Partie A

Exercice 1

est définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

>1. Dérivée de f et tableaux de variation de f

Pour tout  :

Or, pour tout x , et , donc . La fonction est strictement croissante sur [0 ; 1].

Tableau de variation de sur [0 ; 1] :


.

>2. Signe de x – f(x) sur [0 ; 1]

Pour tout  :

.

Or, pour tout , , donc :

>3. Conclusion

La fonction vérifie les conditions requises, donc la courbe représentative de f est une courbe de Lorenz.

Exercice 2

est définie sur [0 ; 1] par

>1.a) Dérivée de g et tableau de variation de g

Pour tout , .

Or , donc , donc .

On en déduit que est croissante sur [0 ; 1].

b) Calcul de g(0) et g(1)

 ; .

>2. est définie sur [0 ; 1] par :

a) Tableau de variation de h

Signe de la dérivée de  :


est donc strictement croissante sur , strictement décroissante sur .


.

D’où à 0,1 près.

b) Pour tout de [0 ; 1], .

Or d’après l’étude précédente, pour tout de [0 ; 1], , donc , donc :

>3. Conclusion

La fonction vérifie les conditions requises, sa courbe représentative est une courbe de Lorenz.

Partie B

>1. Valeur arrondie de g(0,5) et interprétation

Notez bien

Ce résultat peut être vérifié graphiquement.

On peut donc dire que 50 % des exploitations les plus petites représentent au total environ 29 % de la superficie des exploitations du pays G.

>2.a) Calcul d’aire A

est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe représentant la fonction .

Puisque pour tout (ce qu’on peut vérifier graphiquement car la courbe se trouve en-dessous du segment [OA]) :

b) est le coefficient de Gini pour le pays G, égal au double de l’aire précédente.

>3. Valeur exacte du coefficient de Gini

>4.a) Pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire

Notez bien

Plus la courbe de Lorenz est « éloignée » du segment [OA], plus la répartition est inégalitaire. Lorsque la courbe de Lorenz est confondue avec le segment [OA], la répartition est parfaitement égalitaire ; dans ce cas, le coefficient de Gini est nul.

Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire. Donc le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire est le pays F car .

b) Vérification graphique

L’aire du domaine délimité par la courbe et le segment [OA] est inférieure à celle du domaine délimité par la courbe et le segment [OA], donc le graphique permettait de prévoir le résultat de la question précédente.