Analyse &bull Inté gration
Corrigé
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Ens. spé cifique
matT_1200_00_08C
Sujet iné dit
Exercice &bull 9 points
On appelle courbe de Lorenz la repré sentation graphique d&rsquo une fonction 
vé rifiant les conditions suivantes :
est dé finie sur [0 1] 
est croissante sur [0 1] 
- pour tout
de [0 1], 
.
Partie A
Le but de la partie 
et 
considé ré es satisfont aux conditions é noncé es ci-dessus.
Exercice 1
Soit la fonction 
dé finie sur l&rsquo intervalle [0 1] par :
et dresser le tableau de variation de 
sur [0 1]. (0,75 point)
sur [0 1]. (0,5 point)
Exercice 2
Soit 
la fonction dé finie sur [0 1] par :
. En dé duire le sens de variation de 
sur [0 1]. (0,75 point)
et 
(0,5 point)
la fonction dé finie sur [0 1] par :
(que l&rsquo on ne demande pas de calculer) :
Dresser le tableau de variations de 
on pré cisera l&rsquo arrondi à 0,1 de 
. (0,75 point)
de [0 1], 
(0,25 point)
À l&rsquo aide de 
de [0 1], 
. (0,25 point)
Partie B
Sur le graphique ci-dessous sont tracé es les courbes repré sentatives respectives 
et 
des fonctions 
et 
et le segment [OA] où A est le point de coordonné es (1 1).
illustre la ré partition des surfaces des exploitations agricoles d&rsquo un pays G.
En abscisse, 
repré sente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.
En ordonné e, 
repré sente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.
Par exemple, comme l&rsquo arrondi de 
à 
est 0,13, on dit que 30 % des exploitations les plus petites repré sentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.
Donner la valeur arrondie à 0,01 de 
Interpré ter ce ré sultat. (0,5 point
où 
est l&rsquo aire, en unité s d&rsquo aire, du domaine dé limité par le segment [OA] et la courbe 
. On le note 
.
à l&rsquo aide d&rsquo une inté grale. Dé terminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point + 0,75 point)
. (0,5 point)
de 
est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer 
le coefficient de Gini pour le pays F.
En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01. (1 point)
Duré e conseillé e : 75 min.
Les thè mes en jeu
Dé rivé es usuelles &bull Sens de variation &bull Fonction exponentielle &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan.
Les conseils du correcteur
Partie A
Exercice 2, 
obtenue est cohé rente avec les variations de la fonction 
.
Exercice 1, 
et 
sont des courbes de Lorenz.
Partie B
à partir de l&rsquo expression algé brique de la fonction 
et vé rifiez graphiquement le ré sultat.
.
Les exercices 1 et 2 sont indé pendants.