Analyse • Intégration
Corrigé
27
Ens. spécifique
matT_1200_00_08C
Sujet inédit
Exercice • 9 points
On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d'une fonction 
vérifiant les conditions suivantes :
est définie sur [0 1] 
est croissante sur [0 1] 
- pour tout
de [0 1], 
.
Partie A
Le but de la partie 
et 
considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus.
Exercice 1
Soit la fonction 
définie sur l'intervalle [0 1] par :
et dresser le tableau de variation de 
sur [0 1]. (0,75 point)
sur [0 1]. (0,5 point)
Exercice 2
Soit 
la fonction définie sur [0 1] par :
. En déduire le sens de variation de 
sur [0 1]. (0,75 point)
et 
(0,5 point)
la fonction définie sur [0 1] par :
(que l'on ne demande pas de calculer) :
Dresser le tableau de variations de 
on précisera l'arrondi à 0,1 de 
. (0,75 point)
de [0 1], 
(0,25 point)
À l'aide de 
de [0 1], 
. (0,25 point)
Partie B
Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives 
et 
des fonctions 
et 
et le segment [OA] où A est le point de coordonnées (1 1).
illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d'un pays G.
En abscisse, 
représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.
En ordonnée, 
représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.
Par exemple, comme l'arrondi de 
à 
est 0,13, on dit que 30 % des exploitations les plus petites représentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.
Donner la valeur arrondie à 0,01 de 
Interpréter ce résultat. (0,5 point
où 
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe 
. On le note 
.
à l'aide d'une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point + 0,75 point)
. (0,5 point)
de 
est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer 
le coefficient de Gini pour le pays F.
En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01. (1 point)
Durée conseillée : 75 min.
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan.
Les conseils du correcteur
Partie A
Exercice 2, 
obtenue est cohérente avec les variations de la fonction 
.
Exercice 1, 
et 
sont des courbes de Lorenz.
Partie B
à partir de l'expression algébrique de la fonction 
et vérifiez graphiquement le résultat.
.
Partie A
Exercice 1
est définie sur l'intervalle [0 1] par 
> 1. Dérivée de f et tableaux de variation de f
Pour tout 
:
Or, pour tout x 
, 
et 
, donc 
. La fonction 
est strictement croissante sur [0 1].
Tableau de variation de 
sur [0 1] :
.
> 2. Signe de x – f(x) sur [0 1]
Pour tout 
:
.
Or, pour tout 
, 
, donc :
> 3. Conclusion
La fonction 
vérifie les conditions requises, donc
Exercice 2
est définie sur [0 1] par 
> 1. a) Dérivée de g et tableau de variation de g
Pour tout 
, 
.
Or 
, donc 
, donc 
.
On en déduit que 
est croissante sur [0 1]
b) Calcul de g(0) et g(1)
.
est définie sur [0 1] par :
a) Tableau de variation de h
Signe de la dérivée de 
:
est donc strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
.
.
D'où 
à 0,1 près.
de [0 1], 
.
Or d'après l'étude précédente, pour tout 
de [0 1], 
, donc 
, donc :
> 3. Conclusion
La fonction 
vérifie les conditions requises, sa courbe représentative est une courbe de Lorenz.
Partie B
> 1. Valeur arrondie de g(0,5) et interprétation
Notez bien
Ce résultat peut être vérifié graphiquement.
> 2. a) Calcul d'aire A
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe 
représentant la fonction 
.
Puisque 
pour tout 
(ce qu'on peut vérifier graphiquement car la courbe 
se trouve en-dessous du segment [OA]) :
est le coefficient de Gini pour le pays G, égal au double de l'aire précédente.
> 3. Valeur exacte du coefficient de Gini
> 4. a) Pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire
Notez bien
Plus la courbe de Lorenz est « éloignée » du segment [OA], plus la répartition est inégalitaire. Lorsque la courbe de Lorenz est confondue avec le segment [OA], la répartition est parfaitement égalitaire dans ce cas, le coefficient de Gini est nul.
Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire. 
b) Vérification graphique
L'aire du domaine délimité par la courbe 
et le segment [OA] est inférieure à celle du domaine délimité par la courbe 
et le segment [OA], donc
Les exercices 1 et 2 sont indépendants.