Analyse • Intégration
Corrigé
27
Ens. spécifique
matT_1200_00_08C
Sujet inédit
Exercice • 9 points
On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d'une fonction vérifiant les conditions suivantes :
Partie A
Le but de la partie et
considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus.
Exercice 1
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 1] par :
et dresser le tableau de variation de
sur [0 1]. (0,75 point)
sur [0 1]. (0,5 point)
Exercice 2
Soit la fonction définie sur [0 1] par :
. En déduire le sens de variation de
sur [0 1]. (0,75 point)
la fonction définie sur [0 1] par :
(que l'on ne demande pas de calculer) :

Dresser le tableau de variations de on précisera l'arrondi à 0,1 de
. (0,75 point)
de [0 1],
(0,25 point)
À l'aide de de [0 1],
. (0,25 point)
Partie B
Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives et
des fonctions
et
et le segment [OA] où A est le point de coordonnées (1 1).

illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d'un pays G.
En abscisse, représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.
En ordonnée, représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.
Par exemple, comme l'arrondi de à
est 0,13, on dit que 30 % des exploitations les plus petites représentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.
Donner la valeur arrondie à 0,01 de Interpréter ce résultat. (0,5 point
où
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe
. On le note
.
à l'aide d'une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point + 0,75 point)
. (0,5 point)
de
est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer
le coefficient de Gini pour le pays F.
En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01. (1 point)
Durée conseillée : 75 min.
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan.
Les conseils du correcteur
Partie A
Exercice 2, obtenue est cohérente avec les variations de la fonction
.
Exercice 1, et
sont des courbes de Lorenz.
Partie B
à partir de l'expression algébrique de la fonction
et vérifiez graphiquement le résultat.
Partie A
Exercice 1
> 1. Dérivée de f et tableaux de variation de f

> 2. Signe de x – f(x) sur [0 1]
> 3. Conclusion
La fonction vérifie les conditions requises, donc
Exercice 2
> 1. a) Dérivée de g et tableau de variation de g
b) Calcul de g(0) et g(1)
a) Tableau de variation de h


> 3. Conclusion
Partie B
> 1. Valeur arrondie de g(0,5) et interprétation
Notez bien
Ce résultat peut être vérifié graphiquement.
> 2. a) Calcul d'aire A
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe
représentant la fonction
.
Puisque pour tout
(ce qu'on peut vérifier graphiquement car la courbe
se trouve en-dessous du segment [OA]) :
est le coefficient de Gini pour le pays G, égal au double de l'aire précédente.
> 3. Valeur exacte du coefficient de Gini
> 4. a) Pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire
Notez bien
Plus la courbe de Lorenz est « éloignée » du segment [OA], plus la répartition est inégalitaire. Lorsque la courbe de Lorenz est confondue avec le segment [OA], la répartition est parfaitement égalitaire dans ce cas, le coefficient de Gini est nul.
Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire.
Les exercices 1 et 2 sont indépendants.