Courbe de Lorenz

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Courbe de Lorenz

Analyse &bull Int&eacute gration

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_08C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 9 points

On appelle courbe de Lorenz la repr&eacute sentation graphique d&rsquo une fonction v&eacute rifiant les conditions suivantes  :

  • est d&eacute finie sur [0  1] 
  • est croissante sur [0  1] 
  • pour tout de [0  1], .

Partie A

Le but de la partie A est de v&eacute rifier que les fonctions et consid&eacute r&eacute es satisfont aux conditions &eacute nonc&eacute es ci-dessus.

Les exercices 1 et 2 sont ind&eacute pendants.

Exercice 1

Soit la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [0  1] par  :

&gt 1.  D&eacute terminer la d&eacute riv&eacute e de et dresser le tableau de variation de sur [0  1]. (0,75  point)

&gt 2.  D&eacute terminer le signe de sur [0  1]. (0,5  point)

&gt 3.  Conclure. (0,25  point)

Exercice 2

Soit la fonction d&eacute finie sur [0  1] par  :

&gt 1.a)  Calculer . En d&eacute duire le sens de variation de sur [0  1]. (0,75 point)

b)  Calculer et (0,5 point)

&gt 2.  Soit la fonction d&eacute finie sur [0  1] par  :

a)  Le tableau suivant donne le signe de la d&eacute riv&eacute e de (que l&rsquo on ne demande pas de calculer)  :


Dresser le tableau de variations de   on pr&eacute cisera l&rsquo arrondi &agrave 0,1 de . (0,75 point)

b)  V&eacute rifier que pour tout de [0  1], (0,25  point)

&Agrave l&rsquo aide de 2. a), montrer que pour tout de [0  1], . (0,25 point)

&gt 3.  Conclure. (0,25 point)

Partie B

Sur le graphique ci-dessous sont trac&eacute es les courbes repr&eacute sentatives respectives et des fonctions et et le segment [OA] o&ugrave A est le point de coordonn&eacute es (1  1).


&gt 1.  On suppose que la courbe de Lorenz illustre la r&eacute partition des surfaces des exploitations agricoles d&rsquo un pays G.

En abscisse, repr&eacute sente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.

En ordonn&eacute e, repr&eacute sente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.

Par exemple, comme l&rsquo arrondi de &agrave est 0,13, on dit que 30  % des exploitations les plus petites repr&eacute sentent au total 13  % de la superficie des exploitations du pays G.

Donner la valeur arrondie &agrave 0,01 de Interpr&eacute ter ce r&eacute sultat. (0,5  point +0,5 point)

&gt 2.  On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le nombre o&ugrave est l&rsquo aire, en unit&eacute s d&rsquo aire, du domaine d&eacute limit&eacute par le segment [OA] et la courbe . On le note .

a)  Exprimer cette aire &agrave l&rsquo aide d&rsquo une int&eacute grale. D&eacute terminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point +  0,75 point)

b)  Donner la valeur arrondie &agrave 0,01 de . (0,5 point)

&gt 3.  La repr&eacute sentation graphique de est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer le coefficient de Gini pour le pays F.

En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie &agrave 0,01. (1 point)

&gt 4.  Plus le coefficient de Gini est petit, plus la r&eacute partition des exploitations est &eacute galitaire.

a)  Quel est le pays pour lequel la r&eacute partition est la plus &eacute galitaire  ? (0,5  point)

b)  Le graphique permettait-il de pr&eacute voir ce r&eacute sultat  ? Pourquoi  ? (0,5  point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 75 min.

Les th&egrave mes en jeu

D&eacute riv&eacute es usuelles &bull Sens de variation &bull Fonction exponentielle &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan.

Les conseils du correcteur

Partie A

Exercice 2, 2. V&eacute rifiez que la valeur approch&eacute e de obtenue est coh&eacute rente avec les variations de la fonction .

Exercice 1, 3. et exercice 2, 3. V&eacute rifiez que les courbes repr&eacute sentatives des fonctions et sont des courbes de Lorenz.

Partie B

&gt     1.  Calculez une valeur approch&eacute e de &agrave partir de l&rsquo expression alg&eacute brique de la fonction et v&eacute rifiez graphiquement le r&eacute sultat.

&gt     2.  b)  V&eacute rifiez que .

&gt     3.  La m&eacute thode est la m&ecirc me qu&rsquo &agrave la question 2.