On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d’une fonction vérifiant les conditions suivantes  :

• est définie sur [0  1] 
• est croissante sur [0  1] 
•  
• pour tout de [0  1], .

Le but de la partie A est de vérifier que les fonctions et considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus.

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0  1] par  :

>  1.  Déterminer la dérivée de et dresser le tableau de variation de sur [0  1]. (0,75  point)

>  2.  Déterminer le signe de sur [0  1]. (0,5  point)

>  3.  Conclure. (0,25  point)

Soit la fonction définie sur [0  1] par  :

>  1.  a)  Calculer . En déduire le sens de variation de sur [0  1]. (0,75 point)

b)  Calculer et (0,5 point)

>  2.  Soit la fonction définie sur [0  1] par  :

a)  Le tableau suivant donne le signe de la dérivée de (que l’on ne demande pas de calculer)  :

Dresser le tableau de variations de   on précisera l’arrondi à 0,1 de . (0,75 point)

b)  Vérifier que pour tout de [0  1], (0,25  point)

À l’aide de 2. a), montrer que pour tout de [0  1], . (0,25 point)

>  3.  Conclure. (0,25 point)

Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives et des fonctions et et le segment [OA] où A est le point de coordonnées (1  1).

>  1.  On suppose que la courbe de Lorenz illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d’un pays G.

En abscisse, représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.

En ordonnée, représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.

Par exemple, comme l’arrondi de à est 0,13, on dit que 30  % des exploitations les plus petites représentent au total 13  % de la superficie des exploitations du pays G.

Donner la valeur arrondie à 0,01 de Interpréter ce résultat. (0,5  point +  0,5 point)

>  2.  On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le nombre où est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par le segment [OA] et la courbe . On le note .

a)  Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire. (0,5 point +  0,75 point)

b)  Donner la valeur arrondie à 0,01 de . (0,5 point)

>  3.  La représentation graphique de est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer le coefficient de Gini pour le pays F.

En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01. (1 point)

>  4.  Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire.

a)  Quel est le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire  ? (0,5  point)

b)  Le graphique permettait-il de prévoir ce résultat  ? Pourquoi  ? (0,5  point)