Coût de fabrication et bénéfice lors d’une production de sorbets

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Coût de fabrication et bénéfice lors d’une production de sorbets

Fonction logarithme népérien

matT_1404_12_08C

Ens. spécifique

19

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 4 • 6 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.

Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel de l’intervalle I = [0 ; 3] par :

.

Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet, est le coût total de fabrication en centaines d’euros.

La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle I.

Partie A

La courbe représentative de la fonction et la droite représentative de la fonction linéaire sont données en annexe.

>1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

a) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. (0,25 point)

b) Donner l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un bénéfice ? (0,25 point)

>2. On admet que .

a) En déduire la valeur de . (0,5 point)

b) En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l’euro) du coût total de production. (0,5 point)

Partie B

On note le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente de centaines de litres de sorbet produits. D’après les données précédentes, pour tout de l’intervalle [1 ; 3], on a :

est exprimé en centaines d’euros.

>1. On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout nombre de l’intervalle [1 ; 3], on a :

(0,5 point)

>2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée sur l’intervalle [1 ; 3].


 

a) Montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle [1 ; 3]. Donner une valeur approchée de à . (1,25 point)

b) En déduire le signe de sur l’intervalle [1 ; 3], puis dresser le tableau de variation de la fonction sur ce même intervalle. (1,25 point)

>3. L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable ? (1 point)

Annexe


 
Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. a) Lisez sur le graphique l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 1, car la production est en centaines de litres.

>1. b) est une fonction linéaire, donc il existe un réel indépendant de tel que, pour tout , .

Partie B

>2 a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. a) Déterminer une valeur par lecture graphique

Puisque la quantité de sorbet est exprimée en centaines de litres, alors le prix de vente de 100 litres de sorbet est en centaines d’euros.

Par lecture graphique, .

Donc 100 litres de sorbet sont vendus 1 000 euros.

b) Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

Notez bien

La fonction est représentée par une droite (ici un segment de droite) passant par l’origine du repère.

est une fonction linéaire, donc il existe un réel tel que, pour tout appartenant à l’intervalle I = [0 ; 3],

, donc et, pour tout appartenant à l’intervalle I = [0 ; 3] :

c) Déterminer les productions dégageant un bénéfice

L’entreprise dégage un bénéfice si et seulement si est tel que , c’est-à-dire si et seulement si le point de d’abscisse se trouve au-dessus du point de de même abscisse .

Graphiquement, est au-dessus de si et seulement si est supérieur ou égal à 1 (la droite et la courbe ont un seul point commun d’abscisse 1).

L’artisan doit donc produire au moins 100 litres de sorbets pour que l’entreprise dégage un bénéfice.

>2. a) Calculer une intégrale

Notez bien

La fonction est une primitive sur de la fonction
.

d’après la propriété de linéarité de l’intégrale.

Donc :

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [1 ; 3] est :

.

La valeur moyenne du coût total de production, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, est donc, arrondie à l’euro, 1 390 euros.

Partie B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à [1 ; 3] :

.

Donc :

>2. a) Montrer qu’une équation a une unique solution dans un intervalle donné ; donner une valeur approchée de cette solution

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; 3].

 ; .

Donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, dans le cas d’une fonction continue strictement monotone, l’équation admet une unique solution dans l’intervalle [1 ; 3].

Avec la calculatrice :

et .

Donc , donc

De même :

et .

Donc , donc , d’où :

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

si

si .

D’où le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle [1 ; 3] :


 

 ; .

>3. Déterminer si une fonction atteint une valeur donnée

est maximal pour , avec

et , ce qui correspond à un bénéfice d’environ 843,29 euros.

Il ne semble donc pas envisageable d’atteindre un bénéfice de 850 euros.