Coût de production hebdomadaire d’une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Centres étrangers
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Coût de production hebdomadaire d’une entreprise

Analyse • Intégration

Corrigé

21

Ens. spécifique

matT_1206_06_00C

D’après Centres étrangers • Juin 2012

Exercice 4 • 6 points

Partie A

Soit la fonction définie sur par , où et sont deux réels.

On note la fonction dérivée de .

>1. Montrer que, pour tout nombre réel , .

>2. On donne et . En déduire et .

Partie B

Dans cette partie, on admettra que et .

Donc pour tout réel ,

On appelle la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d’un repère .

>1. Étudier les variations de sur .

>2. Montrer que la courbe possède un point d’inflexion I d’abscisse et calculer l’ordonnée de I.

>3. Déterminer une équation de la tangente à au point I.

Partie C

Une entreprise produit x centaines d’objets chaque semaine.

Le coût de production hebdomadaire, exprimé en milliers d’euros, est défini sur l’intervalle [0 ; 5] par la fonction f étudiée dans la partie B.

>1. Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l’euro près.

>2. Démontrer que la fonction F définie sur [0 ; 5] par :

est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.

>3.a) Calculer  ; on arrondira le résultat à près.

b) Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l’entreprise ?

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Convexité, point d’inflexion • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Partie B

>2. Calculez la dérivée seconde de f.

Partie C

>1. Utilisez les résultats de la partie B.

>2. Calculez la dérivée de .

>3.a) Utilisez la question 2.

Corrigé

Partie A

>1. Calculer la dérivée d’une fonction dont l’expression dépend de paramètres

Notez bien

, avec et  ; donc, pour tout réel  : et .

On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Pour tout nombre réel  :

.

On en déduit que, pour tout nombre réel  :

>2. Déterminer les valeurs de paramètres intervenant dans l’expression d’une fonction

Notez bien

.

, donc  ; , donc .

On en déduit : .

Donc, pour tout réel  :

Partie B

>1. Étudier les variations d’une fonction f

Pour tout nombre réel, .

Pour tout réel x, , donc a le signe de . D’où :

 ;

si , alors  ;

si , alors .

On en déduit que est croissante sur , décroissante sur .

admet donc un maximum en  ; ce maximum est .

>2. Déterminer un point d’inflexion

Notez bien

est la dérivée de .

Pour tout nombre réel  :

.

 ; si , si .

s’annule et change de signe en .

Donc le point I de d’abscisse est un point d’inflexion de .

L’ordonnée de I est .

>3. Déterminer une équation d’une tangente à une courbe

I a pour abscisse , donc la tangente à en I a pour équation :

Partie C

>1. Déterminer le maximum d’un coût de production

Attention

Dans cette question, on a nécessairement ( est le nombre de centaines d’objets produites chaque semaine par l’entreprise).

D’après la question 1. de la partie B, le maximum de sur est atteint en et égal à .

, donc le coût de production maximal hebdomadaire de l’entreprise est milliers d’euros, soit euros.

Avec la calculatrice, on obtient, en arrondissant à l’euro, un coût de production maximal hebdomadaire de 1 889 €.

>2. Démontrer qu’une fonction F donnée est une primitive d’une fonction f donnée

Pour tout appartenant à [0 ; 5], , soit :

.

La fonction Fdéfinie sur [0 ; 5]par est donc une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 5].

>3. a) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Notez bien

Par définition d’une intégrale,

, où F

est une primitive de f sur

l’intervalle [a ; b].

À près :

b) Interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

est la valeur moyenne de sur l’intervalle .

Attention

représente le coût de production hebdomadaire en milliers d’euros.

Le coût de production hebdomadaire moyen de l’entreprise lorsqu’elle produit de 0 à 5 centaines d’objets est environ 966 €.