France métropolitaine • Juin 2015
Exercice 2 • 5 points
Coût du forage d'un puits
Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.
Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite 
définie pour tout entier naturel 
non nul par :
où 
représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres. On a ainsi 
et 
, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.
Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.
▶ 1. Calculer 
, puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. (0,75 point)
▶ 2. Pour tout entier naturel 
non nul :
a) Exprimer 
en fonction de 
et préciser la nature de la suite 
. (0,75 point)
b) En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres. (0,5 point)
▶ 3. On considère l'algorithme ci-dessous :
| Initialisation |
| |
| Traitement | Saisir Pour | |
|
| ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher | |
prend la valeur 2 000
prend la valeur 2 000
allant de 2 à 
prend la valeur 
prend la valeur 
La valeur de 
saisie est 5.
a) Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de 
.
Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). (1 point)
| Valeur de | 2 | ||
| Valeur de | 2 000 | ||
| Valeur de | 2 000 |
b) Quelle est la valeur de 
affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,75 point)
▶ 4. On note 
la somme des 
premiers termes de la suite 
, 
étant un entier naturel non nul. On admet que :
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.
a) Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation…). (0,75 point)
b) Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle « Pour » • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
▶ 1. Le coût total de forage des 30 premiers mètres est la somme des coûts de forage des trois premières dizaines de mètres.
▶ 4. b) Utilisez une boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Corrigé
▶ 1. Calculer un terme et une somme de termes d'une suite
D'après l'énoncé, en arrondissant au centième :
Le coût total du forage des 30 premiers mètres, c'est-à-dire des trois premières dizaines de mètres, est (en euros) 
.
, donc, en arrondissant au centième :
.
Le coût total de forage des 30 premiers mètres est égal à environ 6 048,13 euros.
▶ 2. a) Déterminer la nature d'une suite
Notez bien
et le premier terme est positif, donc la suite 
est croissante.
Le coût du forage d'une dizaine de mètres est donc supérieur à celui de la dizaine précédente. Le coût augmente avec la profondeur.
Pour tout entier naturel 
non nul :
La suite 
est donc une suite géométrique de raison 1,008.
b) Déterminer un pourcentage d'évolution
Notez bien
1,008 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 0,8 %.
.
Le coût du forage augmente donc de 0,8 % entre la n-ième dizaine de mètres et la (n + 1)-ième dizaine de mètres.
▶ 3. a) Faire fonctionner un algorithme
Le fonctionnement de l'algorithme avec 
est résumé dans le tableau suivant :
| Valeur de | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| Valeur de | 2 000 | 2 016 | 2 032,13 | 2 048,39 | 2 064,77 |
| Valeur de | 2 000 | 4 016 | 6 048,13 | 8 096,52 | 10 161,29 |
b) Déterminer et interpréter la valeur obtenue en sortie d'un algorithme
La valeur de 
affichée en sortie de cet algorithme est 10 161,29 environ.
Elle représente le coût, en euros, du forage des cinq premières dizaines de mètres.
On peut donc dire que le forage des 50 premiers mètres coûte environ 10 161,29 euros.
▶ 4. a) Déterminer les termes d'une suite inférieurs ou égaux à un nombre donné
représente donc la somme des coûts du forage des 
premières dizaines de mètres, c'est-à-dire le coût total d'un forage de 
dizaines de mètres.
Le budget consenti est 125 000 euros, donc on cherche donc la plus grande valeur de 
telle que :
.
Avec la calculatrice :
on peut calculer les puissances successives de 
, jusqu'à en obtenir une supérieure à 1,5
on trouve 
et 
, donc 
on en déduit que 
équivaut à 
.
on peut établir un tableau donnant une valeur approchée de 
pour 
variant jusqu'à la valeur souhaitée on arrive à la même conclusion que précédemment.
En résolvant une inéquation :
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 
, 
équivaut à :
.
Or 
et 
est un entier naturel, donc 
équivaut à 
.
La profondeur maximale du forage réalisable avec le budget consenti est donc 50 dizaines de mètres, c'est-à-dire 500 mètres.
b) Adapter un algorithme pour résoudre un problème
Notez bien
est en dizaines de mètres, et on sort de la boucle pour la première valeur de 
telle que 
. C'est pourquoi, pour que l'algorithme donne la profondeur maximale en mètres que l'on peut espérer avec le budget consenti, on doit demander l'affichage de 
.
On peut répondre au problème posé en modifiant de la manière suivante l'algorithme de la question 3. :
| Initialisation |
| |
| Traitement | Tant que | |
|
| ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie | Afficher | |
prend la valeur 2 000
prend la valeur 2 000
prend la valeur 1
prend la valeur 
prend la valeur 
prend la valeur 
