Coût du forage d'un puit

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Coût du forage d’un puits

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite 3316332-Eqn9 définie pour tout entier naturel 3316332-Eqn10 non nul par :

3316332-Eqn11

3316332-Eqn12 représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres. On a ainsi 3316332-Eqn13 et 3316332-Eqn14, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

 1. Calculer 3316332-Eqn15, puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. (0,75 point)

 2. Pour tout entier naturel 3316332-Eqn16 non nul :

a) Exprimer 3316332-Eqn17 en fonction de 3316332-Eqn18 et préciser la nature de la suite 3316332-Eqn19. (0,75 point)

b) En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la (+ 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres. (0,5 point)

 3. On considère l’algorithme ci-dessous :

Initialisation

3316332-Eqn20 prend la valeur 2 000

3316332-Eqn21 prend la valeur 2 000

Traitement

Saisir 3316332-Eqn22

Pour 3316332-Eqn23 allant de 2 à 3316332-Eqn24

 

3316332-Eqn25 prend la valeur 3316332-Eqn26

3316332-Eqn27 prend la valeur 3316332-Eqn28

Fin Pour

Sortie

Afficher 3316332-Eqn29

La valeur de 3316332-Eqn30 saisie est 5.

a) Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de 3316332-Eqn31.

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). (1 point)

Valeur de 3316332-Eqn32

 

2

 

Valeur de 3316332-Eqn33

2 000

   

Valeur de 3316332-Eqn34

2 000

   

b) Quelle est la valeur de 3316332-Eqn35 affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,75 point)

 4. On note 3316332-Eqn36 la somme des 3316332-Eqn37 premiers termes de la suite 3316332-Eqn38, 3316332-Eqn39 étant un entier naturel non nul. On admet que :

3316332-Eqn40

Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget.

a) Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d’une inéquation…). (0,75 point)

b) Modifier l’algorithme précédent afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle « Pour » • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Le coût total de forage des 30 premiers mètres est la somme des coûts de forage des trois premières dizaines de mètres.

 4. b) Utilisez une boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Corrigé

Corrigé

 1. Calculer un terme et une somme de termes d’une suite

D’après l’énoncé, en arrondissant au centième :

3316332-Eqn144

Le coût total du forage des 30 premiers mètres, c’est-à-dire des trois premières dizaines de mètres, est (en euros) 3316332-Eqn145.

3316332-Eqn146, donc, en arrondissant au centième :

3316332-Eqn147.

Le coût total de forage des 30 premiers mètres est égal à environ 6 048,13 euros.

 2. a) Déterminer la nature d’une suite

Notez bien

3316332-Eqn148 et le premier terme est positif, donc la suite 3316332-Eqn149 est croissante.

Le coût du forage d’une dizaine de mètres est donc supérieur à celui de la dizaine précédente. Le coût augmente avec la profondeur.

Pour tout entier naturel 3316332-Eqn150 non nul :

3316332-Eqn151

La suite 3316332-Eqn152 est donc une suite géométrique de raison 1,008.

b) Déterminer un pourcentage d’évolution

Notez bien

1,008 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 0,8 %.

3316332-Eqn153.

Le coût du forage augmente donc de 0,8 % entre la n-ième dizaine de mètres et la (n + 1)-ième dizaine de mètres.

 3. a) Faire fonctionner un algorithme

Le fonctionnement de l’algorithme avec 3316332-Eqn154 est résumé dans le tableau suivant :

Valeur de 3316332-Eqn155

 

2

3

4

5

Valeur de 3316332-Eqn156

2 000

2 016

2 032,13

2 048,39

2 064,77

Valeur de 3316332-Eqn157

2 000

4 016

6 048,13

8 096,52

10 161,29

b) Déterminer et interpréter la valeur obtenue en sortie d’un algorithme

La valeur de 3316332-Eqn158 affichée en sortie de cet algorithme est 10 161,29 environ.

Elle représente le coût, en euros, du forage des cinq premières dizaines de mètres.

On peut donc dire que le forage des 50 premiers mètres coûte environ 10 161,29 euros.

 4. a) Déterminer les termes d’une suite inférieurs ou égaux à un nombre donné

3316332-Eqn159 ; 3316332-Eqn160 représente donc la somme des coûts du forage des 3316332-Eqn161 premières dizaines de mètres, c’est-à-dire le coût total d’un forage de 3316332-Eqn162 dizaines de mètres.

Le budget consenti est 125 000 euros, donc on cherche donc la plus grande valeur de 3316332-Eqn163 telle que :

3316332-Eqn164

3316332-Eqn165

3316332-Eqn166

3316332-Eqn167.

Avec la calculatrice :

on peut calculer les puissances successives de 3316332-Eqn168, jusqu’à en obtenir une supérieure à 1,5 ;

on trouve 3316332-Eqn169 et 3316332-Eqn170, donc 3316332-Eqn171 ;

on en déduit que 3316332-Eqn172 équivaut à 3316332-Eqn173.

on peut établir un tableau donnant une valeur approchée de 3316332-Eqn174 pour 3316332-Eqn175 variant jusqu’à la valeur souhaitée ; on arrive à la même conclusion que précédemment.

En résolvant une inéquation :

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 3316332-Eqn176, 3316332-Eqn177 équivaut à :

3316332-Eqn178

3316332-Eqn179

3316332-Eqn180.

Or 3316332-Eqn181 et 3316332-Eqn182 est un entier naturel, donc 3316332-Eqn183 équivaut à 3316332-Eqn184.

La profondeur maximale du forage réalisable avec le budget consenti est donc 50 dizaines de mètres, c’est-à-dire 500 mètres.

b) Adapter un algorithme pour résoudre un problème

Notez bien

3316332-Eqn185est en dizaines de mètres, et on sort de la boucle pour la première valeur de 3316332-Eqn186 telle que 3316332-Eqn187. C’est pourquoi, pour que l’algorithme donne la profondeur maximale en mètres que l’on peut espérer avec le budget consenti, on doit demander l’affichage de 3316332-Eqn188.

On peut répondre au problème posé en modifiant de la manière suivante l’algorithme de la question 3. :

Initialisation

3316332-Eqn189 prend la valeur 2 000

3316332-Eqn190 prend la valeur 2 000

3316332-Eqn191 prend la valeur 1

Traitement

Tant que 3316332-Eqn192

 

3316332-Eqn193 prend la valeur 3316332-Eqn194

3316332-Eqn195 prend la valeur 3316332-Eqn196

3316332-Eqn197 prend la valeur 3316332-Eqn198

Fin Tant que

Sortie

Afficher 3316332-Eqn199