Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d&rsquo un certain produit, avec appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0 6]. Le co&ucirc t moyen de fabrication, exprim&eacute en milliers d&rsquo euros, pour une production mensuelle de tonnes est donn&eacute par o&ugrave est la fonction d&eacute finie par  :

&gt   1.  &Agrave l&rsquo aide de la calculatrice  :

a)  Conjecturer en terme de variations l&rsquo &eacute volution du co&ucirc t moyen de fabrication sur l&rsquo intervalle ]0 6]  (0,5  point)

b)  Estimer le minimum du co&ucirc t moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante. (0,5  point)

c)  Dire s&rsquo il est possible d&rsquo atteindre un co&ucirc t moyen de fabrication de 4  000  euros. On pr&eacute cisera la m&eacute thode utilis&eacute e. (0,5  point)

&gt   2.  On d&eacute signe par la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction . Montrer que, pour tout nombre r&eacute el appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0 6]:

(1  point)

&gt   3.  On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle ]0 6] par  :

.

On d&eacute signe par la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction .

a)  V&eacute rifier que pour tout nombre r&eacute el appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0    6]  :

(0,5  point)

b)  Justifier que la fonction est strictement croissante sur l&rsquo intervalle ]0  6]. (0,5  point)

c)  Justifier que l&rsquo &eacute quation admet une seule solution appartenant &agrave l&rsquo intervalle [4  5].

Donner la valeur arrondie au dixi&egrave me du nombre r&eacute el . (1  point)

d)  D&eacute duire des r&eacute sultats pr&eacute c&eacute dents le signe de sur l&rsquo intervalle ]0    6]. (0,75  point)

&gt   4.  &Agrave l&rsquo aide des questions pr&eacute c&eacute dentes, justifier que le minimum du co&ucirc t moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit. (0,75  point)