Coût moyen de fabrication

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Coût moyen de fabrication

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

12

Ens. spécifique

matT_1200_14_01C

D’après France métropolitaine • Septembre 2011

Exercice 3 • 6 points

Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d’un certain produit, avec appartenant à l’intervalle ]0 ; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par est la fonction définie par :

>1. À l’aide de la calculatrice :

a) Conjecturer en terme de variations l’évolution du coût moyen de fabrication sur l’intervalle ]0 ; 6] ; (0,5 point)

b) Estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante. (0,5 point)

c) Dire s’il est possible d’atteindre un coût moyen de fabrication de 4 000 euros. On précisera la méthode utilisée. (0,5 point)

>2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 6]:

(1 point)

>3. On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 6] par :

.

On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

a) Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 6] :

(0,5 point)

b) Justifier que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 6]. (0,5 point)

c) Justifier que l’équation admet une seule solution appartenant à l’intervalle [4 ; 5].

Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel . (1 point)

d) Déduire des résultats précédents le signe de sur l’intervalle ]0 ; 6]. (0,75 point)

>4. À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit. (0,75 point)

Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

>  1. Affichez avec la calculatrice la courbe représentative de la fonction et procédez par lecture graphique.

>  2. Utilisez le résultat sur le calcul de la dérivée du quotient de deux fonctions.

>  3. b) Utilisez la dérivée calculée à la question 3. a).

c) Utilisez la propriété des valeurs intermédiaires.

>  4. Utilisez les résultats de la question 3. pour étudier les variations de la fonction .

Corrigé

>1. On affiche à l’aide de la calculatrice la courbe représentative de la fonction . On obtient :


a) Conjecturer à partir d’une représentation graphique le sens de variation d’une fonction

Le coût moyen de fabrication semble décroître lorsque augmente de 0 à 4, puis croître lorsque augmente de 4 à 6.

b) Conjecturer à partir d’une représentation graphique le minimum d’une fonction

Le coût moyen de fabrication semble minimal lorsque (production mensuelle de 4 tonnes) ; ce minimum semble être égal à 0,7 milliers d’euros, soit 700 euros.

c) Conjecturer à partir d’une représentation graphique l’image d’un nombre par une fonction

Attention

représente le coût moyen de fabrication en milliers d’euros pour tonnes produites.

Si est une production mensuelle pour laquelle on a un coût moyen de fabrication de 4 000 euros, alors .

Sur la courbe représentée, il existe un unique point d’ordonnée 4 ; son abscisse est environ 0,5.

Il semble donc possible d’atteindre un coût moyen de fabrication de 4 000 euros ; la production mensuelle associée est environ 0,5 tonnes.

>2. Calculer la dérivée d’une fonction

On applique la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 6] :

>3.

a) Calculer la dérivée d’une fonction

On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Pour tout réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 6] :

b) Déterminer le sens de variation d’une fonction à partir du signe de sa dérivée

Pour tout réel ,  ; de plus, si .

D’après la règle des signes, pour tout , et la fonction est strictement croissante sur l’intervalle]0 ; 6].

c) Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l’existence d’une solution à une équation

D’après ce qui précède, la fonction est continue et strictement croissante sur ]0 ; 6].

et  ; , donc il existe un unique réel appartenant à l’intervalle [4 ; 5] tel que .

Attention

N’oubliez pas de mentionner que et sont de signes contraires.

L’équation admet une seule solution appartenant à l’intervalle [4 ; 5].

De plus, et , donc et

d) Étudier le signe d’une fonction

est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 6] et , d’où :

>4. Étudier les variations d’une fonction à l’aide d’une fonction auxiliaire

Notez bien

 ; comme si , et ont le même signe. Le signe de a été étudié à la question 3. d)

Des questions 2. et 3. on déduit que et ont le même signe pour tout .

D’où :

si  ;

 ;

si .

On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur , strictement croissante sur  ; elle admet donc un minimum en .

Donc le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit soit environ 4,2 tonnes.