Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d’un certain produit, avec appartenant à l’intervalle ]0 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par où est la fonction définie par  :

>  1.  À l’aide de la calculatrice  :

a)  Conjecturer en terme de variations l’évolution du coût moyen de fabrication sur l’intervalle ]0 6]  (0,5  point)

b)  Estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante. (0,5  point)

c)  Dire s’il est possible d’atteindre un coût moyen de fabrication de 4  000  euros. On précisera la méthode utilisée. (0,5  point)

>  2.  On désigne par la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 6]:

(1  point)

>  3.  On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 6] par  :

.

On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

a)  Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0    6]  :

(0,5  point)

b)  Justifier que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0  6]. (0,5  point)

c)  Justifier que l’équation admet une seule solution appartenant à l’intervalle [4  5].

Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel . (1  point)

d)  Déduire des résultats précédents le signe de sur l’intervalle ]0    6]. (0,75  point)

>  4.  À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit. (0,75  point)