Coût moyen de fabrication

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Coût moyen de fabrication

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

12

Ens. spécifique

matT_1200_14_01C

D’après France métropolitaine • Septembre 2011

Exercice 3 • 6 points

Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d’un certain produit, avec appartenant à l’intervalle ]0 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par est la fonction définie par  :

>1.  À l’aide de la calculatrice  :

a)  Conjecturer en terme de variations l’évolution du coût moyen de fabrication sur l’intervalle ]0 6]  (0,5  point)

b)  Estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante. (0,5  point)

c)  Dire s’il est possible d’atteindre un coût moyen de fabrication de 4  000  euros. On précisera la méthode utilisée. (0,5  point)

>2.  On désigne par la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 6]:

(1  point)

>3.  On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 6] par  :

.

On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

a)  Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0    6]  :

(0,5  point)

b)  Justifier que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0  6]. (0,5  point)

c)  Justifier que l’équation admet une seule solution appartenant à l’intervalle [4  5].

Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel . (1  point)

d)  Déduire des résultats précédents le signe de sur l’intervalle ]0    6]. (0,75  point)

>4.  À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit. (0,75  point)

Durée conseillée  : 55  min.
Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

>    1.  Affichez avec la calculatrice la courbe représentative de la fonction et procédez par lecture graphique.

>    2.  Utilisez le résultat sur le calcul de la dérivée du quotient de deux fonctions.

>    3.  b)  Utilisez la dérivée calculée à la question 3. a).

c)  Utilisez la propriété des valeurs intermédiaires.

>    4.  Utilisez les résultats de la question 3. pour étudier les variations de la fonction .

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