Coût moyen de fabrication

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Co&ucirc t moyen de fabrication

Analyse &bull Fonctions exponentielles

Corrig&eacute

12

Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_14_01C

D&rsquo apr&egrave s France m&eacute tropolitaine &bull Septembre 2011

Exercice 3 &bull 6 points

Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d&rsquo un certain produit, avec appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0 6]. Le co&ucirc t moyen de fabrication, exprim&eacute en milliers d&rsquo euros, pour une production mensuelle de tonnes est donn&eacute par o&ugrave est la fonction d&eacute finie par  :

&gt 1.  &Agrave l&rsquo aide de la calculatrice  :

a)  Conjecturer en terme de variations l&rsquo &eacute volution du co&ucirc t moyen de fabrication sur l&rsquo intervalle ]0 6]  (0,5  point)

b)  Estimer le minimum du co&ucirc t moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante. (0,5  point)

c)  Dire s&rsquo il est possible d&rsquo atteindre un co&ucirc t moyen de fabrication de 4  000  euros. On pr&eacute cisera la m&eacute thode utilis&eacute e. (0,5  point)

&gt 2.  On d&eacute signe par la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction . Montrer que, pour tout nombre r&eacute el appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0 6]:

(1  point)

&gt 3.  On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle ]0 6] par  :

.

On d&eacute signe par la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction .

a)  V&eacute rifier que pour tout nombre r&eacute el appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0    6]  :

(0,5  point)

b)  Justifier que la fonction est strictement croissante sur l&rsquo intervalle ]0  6]. (0,5  point)

c)  Justifier que l&rsquo &eacute quation admet une seule solution appartenant &agrave l&rsquo intervalle [4  5].

Donner la valeur arrondie au dixi&egrave me du nombre r&eacute el . (1  point)

d)  D&eacute duire des r&eacute sultats pr&eacute c&eacute dents le signe de sur l&rsquo intervalle ]0    6]. (0,75  point)

&gt 4.  &Agrave l&rsquo aide des questions pr&eacute c&eacute dentes, justifier que le minimum du co&ucirc t moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes du produit. (0,75  point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 55  min.
Les th&egrave mes en jeu

Fonction exponentielle &bull Sens de variation &bull Th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires.

Les conseils du correcteur

&gt     1.  Affichez avec la calculatrice la courbe repr&eacute sentative de la fonction et proc&eacute dez par lecture graphique.

&gt     2.  Utilisez le r&eacute sultat sur le calcul de la d&eacute riv&eacute e du quotient de deux fonctions.

&gt     3.  b)  Utilisez la d&eacute riv&eacute e calcul&eacute e &agrave la question 3. a).

c)  Utilisez la propri&eacute t&eacute des valeurs interm&eacute diaires.

&gt     4.  Utilisez les r&eacute sultats de la question 3. pour &eacute tudier les variations de la fonction .