Croissance d’un plant de maïs

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Croissance d’un plant de maïs
 
 

Fonction exponentielle

Corrigé

15

Ens. Spécifique

matT_1304_12_07C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 1 • 5 points

Partie A

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu’initialement, pour t= 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

> Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie B

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par .

>1. Déterminer f ′(t) en fonction de t ( f ′ désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].

>2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.

>3.a) Vérifier que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 250] on a .

Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 250] par est une primitive de la fonction f .

b) Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100].

En donner une valeur approchée à 10−2 près et interpréter ce résultat.

>4. On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f .

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t .

En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Annexe


 

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés liées à la fonction logarithme népérien  E9 Partie B, 2. et 3. b)
  • Propriétés liées à la fonction exponentielle  E8 Partie A ; partie B, 1. à 3.
  • Formules de dérivation  E6e • E6f  → Partie B, 1. et 3. a)
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie B, 1.
  • Nombre dérivé et interprétation  E6b  → Partie B, 4.
  • Intégration : primitives et valeur moyenne  E11a • E15d  → Partie B, 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

Partie A

Démontrez que les constantes a et b à déterminer vérifient et .

Corrigé

PARTIE A

> Déterminer l’expression d’une fonction par identification de coefficients

  • Posons . On sait, d’une part, que et d’autre part, que . Il s’ensuit que . On en déduit donc que .

Or, d’après l’énoncé, on a .

L’unicité de la limite permet d’écrire quea= 2.

  • L’énoncé et le calcul précédent de la constante a nous permettent d’écrire l’équation suivante : . Résolvons-la !

Par conséquent, la fonctionh, correspondant à la croissance du plant de maïs étudié, a pour expression.

PARTIE B

>1. Étudier les variations d’une fonction

  • Notons que quel que soit le réel t dans [0 ; 250]. La fonction f est donc une fonction dérivable sur [0 ; 250] comme quotient de deux fonctions dérivables sur [0 ; 250] dont le dénominateur ne s’annule pas.

Pour tout :

.

  • > 0 et quel que soit le réel t. Il s’ensuit que pour tout réel , . La fonctionf est donc strictement croissante sur [0 ; 250].

>2. Résoudre une inégalité

 

Notez bien

Pour tout a > 0 on a :

Avec .

Le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m est de 102 jours.

>3.a) Étudier une primitive d’une fonction

  • Soit , .

On a bien, pour tout,

  • Notons que F est bien dérivable sur [0 ; 250] comme composée de fonctions dérivables. (En effet, la fonction ln est dérivable sur et la fonction est bien dérivable sur [0 ; 250] à valeurs dans .)

Pour tout  :

D’après le résultat établi précédemment, on a : . On en conclut que la fonctionF est bien une primitive de la fonctionf sur [0 ; 250].

b) Calculer et interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Notons la valeur moyenne de f sur [50 ; 100]. On a donc les égalités suivantes :

La valeur moyenne de f sur [50 ; 100] est donc dont une valeur approchée à près est 1,03. La hauteur moyenne d’un plant de maïs entre le 50eet le 100ejour est donc d’environ 103 cm.

>4. Interpréter le nombre dérivé d’une fonction dérivable en un point donné

On rappelle que la fonction f est dérivable sur [0 ; 250].

Soit . est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en . On cherche donc graphiquement la tangente à la courbe qui a le plus grand coefficient directeur.

La vitesse de croissance d’un épi de maïs est maximale pour une valeur det approximativement égale à 75 jours. De plus,f (75) ≈ 1,03. La hauteur est alors d’environ 103 cm.