Arithmétique
matT_1605_09_13C
Ens. de spécialité
42
Liban • Mai 2016
Exercice 4 • 5 points
D’accord ou pas d’accord ?
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.
▶ 1. On considère le système d’inconnue n entier relatif.
Affirmation 1. Si n est solution de ce système alors n – 11 est divisible par 4 et par 5.
Affirmation 2. Pour tout entier relatif k, l’entier 11 + 20k est solution du système.
Affirmation 3. Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que n = 11 + 20k.
▶ 2. Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B.
On considère l’algorithme suivant :
Variables | a et b sont des réels | |
Initialisation | a prend la valeur 0 b prend la valeur 1 | |
Traitement | Pour k allant de 1 à 10 | |
a prend la valeur 0,8a + 0,3b b prend la valeur 1 – a | ||
Fin Pour | ||
Sortie | Afficher a Afficher b | |
Affirmation 4. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.
Affirmation 5. Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Calcul matriciel C5 → Affirmation 5
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 4. Définissez l’état de l’automate après n secondes à l’aide d’une matrice colonne et déterminez la matrice de transition associée à la situation proposée. Établissez alors une relation de récurrence qui relie avec et et comparez avec les affectations qui figurent dans l’algorithme.
▶ Affirmation 5. Pensez à une formule qui permet de déterminer l’état de l’automate après n secondes uniquement à partir de l’état initial et de la matrice de transition.
