Arithmétique

matT_1605_09_13C

Ens. de spécialité

Liban • Mai 2016

Exercice 4 • 5 points

D’accord ou pas d’accord ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. On considère le système ${\begin{cases} n \equiv 1 [5] \\ n \equiv 3 [4] \end{cases}$ d’inconnue n entier relatif.

Affirmation 1. Si n est solution de ce système alors n – 11 est divisible par 4 et par 5.

Affirmation 2. Pour tout entier relatif k, l’entier 11 + 20k est solution du système.

Affirmation 3. Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que n = 11 + 20k.

▶ 2. Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B.

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On considère l’algorithme suivant :

Variables	a et b sont des réels
Initialisation	a prend la valeur 0 b prend la valeur 1
Traitement	Pour k allant de 1 à 10
		a prend la valeur 0,8a + 0,3b b prend la valeur 1 – a
	Fin Pour
Sortie	Afficher a Afficher b

Affirmation 4. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.

Affirmation 5. Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calcul matriciel C5 → Affirmation 5

Nos coups de pouce

▶ Affirmation 4. Définissez l’état de l’automate après n secondes à l’aide d’une matrice colonne et déterminez la matrice de transition associée à la situation proposée. Établissez alors une relation de récurrence qui relie $a_{n + 1}$ avec $a_{n}$ et $b_{n}$ et comparez avec les affectations qui figurent dans l’algorithme.

▶ Affirmation 5. Pensez à une formule qui permet de déterminer l’état de l’automate après n secondes uniquement à partir de l’état initial et de la matrice de transition.

Corrigé

▶ 1. Travailler avec des congruences

Si $n$ est solution du système, alors $n \equiv 1 [5]$ et $n - 11 \equiv 1 - 11 \equiv - 10 \equiv 0 [5]$ .

n – 11 est donc divisible par 5.

Si $n$ est solution du système, alors $n \equiv 3 [4]$ et $n - 11 \equiv 3 - 11 \equiv - 8 \equiv 0 [4]$ .

n – 11est donc divisible par 4.

L’affirmation 1 est vraie.

Pour tout $k \in ℤ$ , $11 + 20 k \equiv 1 + 5 \times 2 + 5 \times 4 k \equiv 1 [5]$ et $11 + 20 k \equiv 3 + 4 \times 2 + 4 \times 5 k \equiv 3 [4]$ . Donc l’entier $11 + 20 k$ est solution du système.

L’affirmation 2 est vraie.

Si $n$ est solution du système, alors $n \equiv 1 [5]$ donc il existe $p \in ℤ$ tel que $n = 1 + 5 p$ .

Si $n$ est solution du système, alors $n \equiv 3 [4]$ donc $1 + 5 p \equiv 3 [4]$ soit $1 + p + 4 p \equiv 3 [4]$ . Finalement $p \equiv 2 [4]$ . Donc il existe $k \in ℤ$ tel que $p = 2 + 4 k$ . Nous en déduisons donc qu’il existe $k \in ℤ$ tel que $n = 1 + 5 p = 1 + 5 \times (2 + 4 k) = 11 + 20 k .$

L’affirmation 3 est vraie.

▶ 2. Étudier un automate

Pour tout entier naturel $n$ , notons $E_{n} = (\begin{array}{l} a_{n} \\ b_{n} \end{array})$ la matrice colonne donnant l’état de l’automate après $n$ secondes. La matrice de transition $M$ associée à ce graphe probabiliste est :

$M = (\begin{array}{l} 0,3 0,8 \\ 0,7 0,2 \end{array})$ .

Nous savons que, pour tout entier naturel $n$ , $E_{n + 1} = M \times E_{n}$ .

Cela nous donne, pour tout entier naturel $n$ :

$E_{n + 1} = (\begin{array}{l} a_{n + 1} \\ b_{n + 1} \end{array}) = M \times E_{n} = (\begin{array}{l} 0,3 \times a_{n} + 0,8 \times b_{n} \\ 0,7 \times a_{n} + 0,2 \times b_{n} \end{array})$

Et, par identification : ${\begin{cases} a_{n + 1} = 0,3 a_{n} + 0,8 b_{n} \\ b_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n} \end{cases}$ .

Or l’algorithme affecte à $a$ l’expression $0,8 a + 0,3 b$ ce qui n’est pas la bonne expression pour calculer les valeurs successives des termes de la suite $(a_{n})$ .

L’affirmation 4 est fausse.

Pour déterminer l’état de l’automate après 4 secondes, on calcule $E_{4} = (\begin{array}{l} a_{4} \\ b_{4} \end{array})$ à l’aide de la formule $E_{4} = M^{4} \times E_{0}$ . Avec la calculatrice, nous obtenons $M^{4} = (\begin{array}{l} 0,5625 0,5 \\ 0,4375 0,5 \end{array})$ .

Sachant que $E_{0} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array})$ (au départ, l’automate est dans l’état B), nous obtenons finalement :

$E_{4} = M^{4} \times E_{0} = (\begin{array}{l} 0,5625 \times 0 + 0,5 \times 1 \\ 0,4375 \times 0 + 0,5 \times 1 \end{array}) = (\begin{array}{l} 0,5 \\ 0,5 \end{array})$ .

Après 4 secondes, l’automate a donc autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B. L’affirmation 5 est vraie.