Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. On considère le système $\{\begin{array}{l}n\equiv 1\left[5\right]\\ n\equiv 3\left[4\right]\end{array}$ d’inconnue n entier relatif.

Affirmation 1. Si n est solution de ce système alors n – 11 est divisible par 4 et par 5.

Affirmation 2. Pour tout entier relatif k, l’entier 11 + 20k est solution du système.

Affirmation 3. Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que n = 11 + 20k.

▶ 2. Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B.

On considère l’algorithme suivant :

Affirmation 4. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.

Affirmation 5. Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.