Temps, mouvement et évolution
pchT_1309_03_00C
Comprendre
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CORRIGE
Antilles, Guyane • Septembre 2013
Exercice 3 • 5 points
Dès 1923, Hermann Oberth mentionne l'intérêt d'un télescope spatial. En effet, un télescope terrestre reçoit des radiations filtrées par l'atmosphère terrestre qui absorbe des radiations électromagnétiques dans le domaine de l'infrarouge notamment. Par ailleurs un télescope spatial n'est pas sensible aux turbulences atmosphériques.
Le télescope spatial Hubble, du nom de l'astronome américain Edwin Hubble, a été lancé en 1990. Celui-ci souffrait au départ d'un défaut de courbure du miroir, non détecté avant la mise en orbite, qui provoquait des images floues. Après modification grâce à une mission spatiale, Hubble put enfin fournir ses premières images de l'Univers dans le domaine du spectre ultraviolet, visible et proche infrarouge. Le télescope Hubble, d'une masse m
Le télescope spatial James Webb, du nom d'un administrateur de la NASA, doit succéder au télescope Hubble en 2018. Il sera lancé par une fusée Ariane 5. Le télescope spatial James Webb, d'une masse de 6 200 kg, sera en orbite à une distance proche de 1,5 millions de kilomètres de la Terre en un point dénommé « point de Lagrange L2 » (voir documents 1 à 3).
D'après www.wikipedia.fr, www. hubblesite.org et https://www.jwst.nasa.gov
Points de Lagrange
En mécanique céleste, il est un sujet qui a passionné de nombreux mathématiciens : c'est le problème dit « des trois corps ». Joseph-Louis Lagrange étudia le cas d'un petit corps, de masse négligeable, soumis à l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une planète. Il découvrit qu'il existait des positions d'équilibre pour le petit corps.
Un point de Lagrange (il en existe 5, notés L1 à L5) est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps très massifs en orbite l'un autour de l'autre fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément la rotation des deux corps.
Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres : il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue. La sonde d'observation SoHO, destinée à observer le Soleil, a par exemple été placée au point L1.
Positions des points de Lagrange sur l'axe Soleil‑Terre
Positions des cinq points de Lagrange dans le plan de l'écliptique
Données
- Constante de gravitation universelle : G
= 6,67 × 10−11 m3∙kg−1 ∙ s−2. - Masse du Soleil : MS
= 1,99 × 1030 kg. - Masse de la Terre : MT
= 5,97 × 1024 kg. - Distance moyenne Soleil-Terre : d
= 149,6 × 106 km équivaut à 1 UA (unité astronomique). - Rayon de la Terre : RT
= 6 370 km. - Durée d'une année terrestre : 365,25 jours.
1. Étude de l'orbite du télescope spatial Hubble
On étudie le système {télescope spatial Hubble} dans le référentiel géocentrique en négligeant l'interaction gravitationnelle du Soleil avec le télescope.
(0,5 point)
où r
2. Étude de la mise en orbite du télescope spatial James Webb
Le télescope spatial James Webb sera mis en orbite par le lanceur européen Ariane 5 depuis la base de lancement située à Kourou en Guyane. Dans cette partie on étudie tout d'abord le système {Ariane 5} (incluant tout son équipement y compris le télescope) dans le référentiel terrestre que l'on suppose galiléen pendant la durée de l'étude. Initialement le système {Ariane 5} est situé sur sa base de lancement. Le repère d'espace choisi est un axe vertical Oz orienté vers le haut. L'origine O est initialement confondue avec le centre d'inertie de la fusée de sorte que :
z(O)
Donnée : g
du lanceur Ariane 5 au moment de son décollage en fonction de M, F et g. (0,5 point)
Calculer la valeur de l'altitude z du lanceur Ariane 5 au bout de 10 s dans ces conditions. (0,25 point)
Pourquoi le point L2 a-t-il été choisi pour l'orbite du télescope James Webb plutôt que le point L1, alors qu'il est envisageable de placer plusieurs satellites au même point de Lagrange ? (0,25 point)
Notions et compétences en jeu
Connaître les lois de Newton • Connaître les lois de Kepler • Connaître les propriétés des mouvements circulaires uniformes.
Conseils du correcteur
Partie 1
Partie 2
1. Étude de l'orbite du télescope spatial Hubble
1 Extraire une information
D'après le texte introductif, il est dit que le télescope spatial Hubble est à une altitude quasi constante de la Terre, soit à une distance quasi constante du centre de la Terre. Sa trajectoire est donc
2 Utiliser la 2e loi de Newton
Le télescope n'est soumis qu'à une seule force : l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre. Celle-ci est centripète et a pour valeur :
Si la distance Terre-télescope (RT
D'après la deuxième loi de Newton, 
soit une accélération telle que :
- sa norme :
= constante - elle est centripète.
Les mouvements à accélération centripète de norme constante sont des mouvements circulaires uniformes.
Notez bien
Dans un mouvement circulaire uniforme, on a toujours 
où r est le rayon de la trajectoire.
3 Connaître les propriétés des mouvements circulaires
Dans un mouvement circulaire uniforme, on a la relation suivante :
donc
soit 
Notez bien
Le périmètre d'un cercle de rayon r est P
4 Établir la période
La période du mouvement est la durée nécessaire au télescope pour parcourir un tour complet autour de la Terre. La distance parcourue est :
d
Cette distance est parcourue à la vitesse constante :
.
La durée de parcours est donc :
.
5 Connaître la troisième loi de Kepler
La troisième loi de Kepler dit que le rapport entre le carré de la période et le cube du rayon de la trajectoire est constant. Ici on a :
donc 
ce qui revient à écrire :
.
Attention
Il faut penser à convertir les distances en mètre.
6 Effectuer une application numérique
T
Attention
Il faut penser à convertir les masses en kilogramme.
2. Étude de la mise en orbite du télescope spatial James Webb
1 1. Calculer un poids
Par définition du poids :
P
2. Appliquer la deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, on peut appliquer la deuxième loi de Newton :
.
Ici les forces appliquées sont le poids 
et la force de poussée 
:
.
En utilisant les coordonnées suivant l'axe z :
F – P 
.
3. Effectuer une application numérique
donc à t
4. Proposer une hypothèse
Les calculs sont faits en supposant l'absence de frottements. En réalité, il doit exister une perte de l'énergie mécanique en énergie thermique, liée aux frottements de l'air, ce qui explique une
2 Proposer une hypothèse
En L2, le satellite se trouve
Les deux parties sont indépendantes.