De Hubble à James Webb

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
De Hubble à James Webb
 
 

Temps, mouvement et évolution

pchT_1309_03_00C

Comprendre

14

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 3 • 5 points

Dès 1923, Hermann Oberth mentionne l’intérêt d’un télescope spatial. En effet, un télescope terrestre reçoit des radiations filtrées par l’atmosphère terrestre qui absorbe des radiations électromagnétiques dans le domaine de l’infrarouge notamment. Par ailleurs un télescope spatial n’est pas sensible aux turbulences atmosphériques.

Le télescope spatial Hubble, du nom de l’astronome américain Edwin Hubble, a été lancé en 1990. Celui-ci souffrait au départ d’un défaut de courbure du miroir, non détecté avant la mise en orbite, qui provoquait des images floues. Après modification grâce à une mission spatiale, Hubble put enfin fournir ses premières images de l’Univers dans le domaine du spectre ultraviolet, visible et proche infrarouge. Le télescope Hubble, d’une masse m= 11 tonnes, est positionné sur une « orbite basse » à une altitude quasi constante h= 600 km de la surface de la Terre.

Le télescope spatial James Webb, du nom d’un administrateur de la NASA, doit succéder au télescope Hubble en 2018. Il sera lancé par une fusée Ariane 5. Le télescope spatial James Webb, d’une masse de 6 200 kg, sera en orbite à une distance proche de 1,5 millions de kilomètres de la Terre en un point dénommé « point de Lagrange L2 » (voir documents 1 à 3).

D’après www.wikipedia.fr, www. hubblesite.org et http://www.jwst.nasa.gov

Document 1

Points de Lagrange

En mécanique céleste, il est un sujet qui a passionné de nombreux mathématiciens : c’est le problème dit « des trois corps ». Joseph-Louis Lagrange étudia le cas d’un petit corps, de masse négligeable, soumis à l’attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une planète. Il découvrit qu’il existait des positions d’équilibre pour le petit corps.

Un point de Lagrange (il en existe 5, notés L1 à L5) est une position de l’espace où les champs de gravité de deux corps très massifs en orbite l’un autour de l’autre fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l’espace accompagne simultanément la rotation des deux corps.

Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres : il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n’évolue. La sonde d’observation SoHO, destinée à observer le Soleil, a par exemple été placée au point L1.

Document 2

Positions des points de Lagrange sur l’axe Soleil‑Terre


 
Document 3

Positions des cinq points de Lagrange dans le plan de l’écliptique


 

Données

  • Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10−11 m3∙kg−1 ∙ s−2.
  • Masse du Soleil : MS= 1,99 × 1030 kg.
  • Masse de la Terre : MT= 5,97 × 1024 kg.
  • Distance moyenne Soleil-Terre : d = 149,6 × 106 km équivaut à 1 UA (unité astronomique).
  • Rayon de la Terre : RT= 6 370 km.
  • Durée d’une année terrestre : 365,25 jours.

Les deux parties sont indépendantes.

1. Étude de l’orbite du télescope spatial Hubble

On étudie le système {télescope spatial Hubble} dans le référentiel géocentrique en négligeant l’interaction gravitationnelle du Soleil avec le télescope.

1 Quelle est la trajectoire du télescope Hubble dans ce référentiel ? (0,25 point)

2 À partir de la deuxième loi de Newton, montrer que, dans l’approximation d’une trajectoire circulaire, le mouvement du télescope Hubble est uniforme. (1 point)

3 Montrer que l’expression de la valeur de la vitesse v du satellite dans le référentiel géocentrique est :

(0,5 point)

4 Établir l’expression de sa période de révolution T en fonction de RT, h et v. (0,5 point)

5 Rappeler la troisième loi de Kepler. Montrer que dans le cas du télescope spatial Hubble on a la relation :

r =RT+h représente la distance entre le centre de la Terre et le télescope spatial. (0,5 point)

6 Calculer la période de révolution T du télescope spatial Hubble, exprimée en minutes. (0,5 point)

2. Étude de la mise en orbite du télescope spatial James Webb

Le télescope spatial James Webb sera mis en orbite par le lanceur européen Ariane 5 depuis la base de lancement située à Kourou en Guyane. Dans cette partie on étudie tout d’abord le système {Ariane 5} (incluant tout son équipement y compris le télescope) dans le référentiel terrestre que l’on suppose galiléen pendant la durée de l’étude. Initialement le système {Ariane 5} est situé sur sa base de lancement. Le repère d’espace choisi est un axe vertical Oz orienté vers le haut. L’origine O est initialement confondue avec le centre d’inertie de la fusée de sorte que :

z(O) =zO= 0.

1 Lors de son décollage, la fusée Ariane 5 et son équipement possèdent une masse totale proche de M= 780 tonnes. La valeur F de la force de poussée générée par ses propulseurs est de l’ordre de 14,0 × 108 N.

1. Déterminer la valeur P du poids de la fusée Ariane 5 au moment de son décollage. (0,5 point)

Donnée: g= 9,8 m ∙ s−2 (intensité de la pesanteur).

2. Déduire de la deuxième loi de Newton l’expression de la coordonnée az du vecteur accélération du lanceur Ariane 5 au moment de son décollage en fonction de M, F et g. (0,5 point)

3. L’accélération reste constante si l’on peut négliger les forces de frottement fluide et si le champ de gravitation reste constant. On montre que l’altitude z(t) du lanceur Ariane 5 est alors donnée par la relation :

Calculer la valeur de l’altitude z du lanceur Ariane 5 au bout de 10 s dans ces conditions. (0,25 point)

4. En réalité, l’altitude d’Ariane 5 est nettement plus faible au bout de 10 s. Proposer une explication énergétique. (0,25 point)

2 On envisage à présent le cas où le télescope James Webb aura atteint le point de Lagrange L2.

Pourquoi le point L2 a-t-il été choisi pour l’orbite du télescope James Webb plutôt que le point L1, alors qu’il est envisageable de placer plusieurs satellites au même point de Lagrange ? (0,25 point)

Notions et compétences en jeu

Connaître les lois de Newton Connaître les lois de Kepler Connaître les propriétés des mouvements circulaires uniformes.

Conseils du correcteur

Partie 1

2 Pensez à utiliser les notations du texte.

Partie 2

12. Faites un schéma.

Corrigé

1. Étude de l’orbite du télescope spatial Hubble

1 Extraire une information

D’après le texte introductif, il est dit que le télescope spatial Hubble est à une altitude quasi constante de la Terre, soit à une distance quasi constante du centre de la Terre. Sa trajectoire est donc circulaire dans le référentiel géocentrique.

2 Utiliser la 2e loi de Newton


 

Le télescope n’est soumis qu’à une seule force : l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre. Celle-ci est centripète et a pour valeur :

Si la distance Terre-télescope (RT+h) est constante, alors la valeur de la force de gravitation est constante.

D’après la deuxième loi de Newton, soit une accélération telle que :

  • sa norme : = constante ;
  • elle est centripète.

Les mouvements à accélération centripète de norme constante sont des mouvements circulaires uniformes.

 

Notez bien

Dans un mouvement circulaire uniforme, on a toujours r est le rayon de la trajectoire.

3 Connaître les propriétés des mouvements circulaires

Dans un mouvement circulaire uniforme, on a la relation suivante :

donc

soit 

 

Notez bien

Le périmètre d’un cercle de rayon r est P =r.

4 Établir la période

La période du mouvement est la durée nécessaire au télescope pour parcourir un tour complet autour de la Terre. La distance parcourue est :

d = 2π(RT+h).

Cette distance est parcourue à la vitesse constante :

.

La durée de parcours est donc :

.

5 Connaître la troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler dit que le rapport entre le carré de la période et le cube du rayon de la trajectoire est constant. Ici on a :

 donc 

ce qui revient à écrire :

.

 

Attention

Il faut penser à convertir les distances en mètre.

6 Effectuer une application numérique

T = 5 789 s =96 min.

 

Attention

Il faut penser à convertir les masses en kilogramme.

2. Étude de la mise en orbite du télescope spatial James Webb

11. Calculer un poids

Par définition du poids :

P =Mg = 780 × 103 × 9,8 =7,64×106N.

2. Appliquer la deuxième loi de Newton


 

Dans un référentiel galiléen, on peut appliquer la deuxième loi de Newton :

.

Ici les forces appliquées sont le poids et la force de poussée  :

.

En utilisant les coordonnées suivant l’axe z :

FP =Maz d’où .

3. Effectuer une application numérique

donc à t = 10 s, on a :

=410 m.

4. Proposer une hypothèse

Les calculs sont faits en supposant l’absence de frottements. En réalité, il doit exister une perte de l’énergie mécanique en énergie thermique, liée aux frottements de l’air, ce qui explique une altitude nettement plus faible.

2 Proposer une hypothèse

En L2, le satellite se trouve à l’ombre du Soleil. La lumière venant de ce dernier ne perturbera donc pas ses mesures.