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France métropolitaine • Juin 2016
Exercice 1 • 6 points
De l'effet Doppler à ses applications
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Christian Doppler (1803-1853)
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Christoph Buys-Ballot (1817-1890)
Christian Doppler, savant autrichien, propose en 1842 une explication de la modification de la fréquence du son perçu par un observateur immobile lorsque la source sonore est en mouvement. Buys-Ballot, scientifique hollandais, vérifie expérimentalement la théorie de Doppler en 1845, en enregistrant le décalage en fréquence d'un son provenant d'un train en mouvement et perçu par un observateur immobile.
On se propose de présenter l'effet Doppler puis de l'illustrer au travers de deux applications.
1. Mouvement relatif d'une source sonore et d'un détecteur
Nous nous intéressons dans un premier temps au changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une source sonore S et d'un détecteur placé au point M (figure 1). Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre dans lequel le détecteur est immobile. Une source S émet des « bips » sonores à intervalles de temps réguliers dont la période d'émission est notée T0. Le signal sonore se propage à la célérité vson par rapport au référentiel terrestre.
Figure 1. Schéma représentant une source sonore immobile (cas A), puis en mouvement (cas B)
1 Cas A. La source S est immobile en x = 0 et le détecteur M, situé à la distance d, perçoit chaque bip sonore avec un retard lié à la durée de propagation du signal.
1. Définir par une phrase, en utilisant l'expression « bips sonores », la fréquence f0 de ce signal périodique. (0,25 point)
2. Comparer la période temporelle T des bips sonores perçus par le détecteur à la période d'émission T0. (0,5 point)
2 Cas B. La source S, initialement en x = 0, se déplace à une vitesse constante vS suivant l'axe Ox en direction du détecteur immobile. La vitesse vS est inférieure à la célérité vson. On suppose que la source reste à gauche du détecteur.
Le détecteur perçoit alors les différents bips séparés d'une durée : 
.
Indiquer si la fréquence 
des bips perçus par le détecteur est inférieure ou supérieure à la fréquence f0 avec laquelle les bips sont émis par la source S. Justifier. (0,75 point)
2. La vélocimétrie Doppler en médecine
La médecine fait appel à l'effet Doppler pour mesurer la vitesse d'écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins (figure 2 ci-après).
Figure 2. Vitesse moyenne du sang dans différents vaisseaux sanguins
Un émetteur produit des ondes ultrasonores qui traversent la paroi d'un vaisseau sanguin. Pour simplifier, on suppose que lorsque le faisceau ultrasonore traverse des tissus biologiques, il rencontre :
des cibles fixes sur lesquelles il se réfléchit sans modification de la fréquence
des cibles mobiles, comme les globules rouges du sang, sur lesquelles il se réfléchit avec une modification de la fréquence ultrasonore par effet Doppler (figure 3).
Figure 3. Principe de la mesure d'une vitesse d'écoulement sanguin par effet Doppler (échelle non respectée)
L'onde ultrasonore émise, de fréquence fE = 10 MHz, se réfléchit sur les globules rouges qui sont animés d'une vitesse v. L'onde réfléchie est ensuite détectée par le récepteur. La vitesse v des globules rouges dans le vaisseau sanguin est donnée par la relation :
où Δf est le décalage en fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie, vultrason la célérité des ultrasons dans le sang et θ l'angle défini sur la figure 3. On donne vultrason = 1,57 × 103 m · s–1 et θ = 45° .
1 Le décalage en fréquence mesuré par le récepteur est de 1,5 kHz. Identifier le(s) type(s) de vaisseaux sanguins dont il pourrait s'agir. (1,5 point)
2 Pour les mêmes vaisseaux sanguins et dans les mêmes conditions de mesure, on augmente la fréquence des ultrasons émis fE. Indiquer comment évolue le décalage en fréquence Δf. Justifier. (0,75 point)
3. Détermination de la vitesse d'un hélicoptère par effet Doppler
On s'intéresse à un son émis par un hélicoptère et perçu par un observateur immobile. La valeur de la fréquence de l'onde sonore émise par l'hélicoptère est f0 = 8,1 × 102 Hz. On se place dans le référentiel terrestre pour toute la suite de cette partie.
Les portions de cercles des figures 4 et 5 ci-dessous donnent les maxima d'amplitude de l'onde sonore à un instant donné. Le point A schématise l'hélicoptère. Dans le cas de la figure 4, l'hélicoptère est immobile. Dans le cas de la figure 5, il se déplace à vitesse constante le long de l'axe et vers l'observateur placé au point O. La célérité du son dans l'air est indépendante de sa fréquence.
Figure 4. L'hélicoptère est immobile
Figure 5. L'hélicoptère est en mouvement
1 Déterminer, avec un maximum de précision, la longueur d'onde λ0 de l'onde sonore perçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est immobile, puis la longueur d'onde 
lorsque l'hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme. (1 point)
2 En déduire une estimation de la valeur de la célérité de l'onde sonore. Commenter la valeur obtenue. (0,5 point)
3 Déterminer la fréquence du son perçu par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement. Cette valeur est-elle en accord avec le résultat de la question 2 de la partie 1 ? Comment la perception du son est-elle modifiée ? (0,5 point)
4 En déduire la valeur de la vitesse de l'hélicoptère. Cette valeur vous paraît-elle réaliste ? (0,25 point)
Les clés du sujet
Notions et compétences en jeu
Propriétés des ondes et effet Doppler.
Conseils du correcteur
Partie 1
2 Utilisez la relation donnée pour montrer que f′ > f0 (même procédé d'inégalité successive qu'en mathématiques).
Partie 2
1 Calculez la vitesse à l'aide de la formule donnée puis utilisez la figure 2.
Partie 3
1 Mesurez plusieurs longueurs d'onde à l'aide d'une règle puis utilisez l'échelle donnée sur le schéma.
4 Réutilisez la relation de la première partie.
Corrigé
1. Mouvement relatif d'une source sonore et d'un détecteur
Attention !
Prêtez une attention particulière aux verbes des questions : « définir » signifie « donner une définition ».
1 1. Définir la fréquence
La fréquence f0 est le nombre de bips sonores par seconde.
2. Comparer deux périodes
Dans le cas A la source sonore est immobile par rapport au détecteur, par conséquent il n'y a pas d'effet Doppler et donc la période reçue est la même que celle émise :
T = T0
2 Comparer deux fréquences
L'énoncé donne la relation T′ = T0
On a donc une relation entre T′ et T0.
De plus, la vitesse de la source vS est inférieure à la vitesse du son vson.
D'où 
1.
1 – 
1 (car vS et vson sont positives).
T0
T0
D'où T′ T0.
On obtient :
car la fonction inverse est décroissante.
Remarque
Lorsqu'émetteur et récepteur se rapprochent, la fréquence perçue est toujours supérieure à la fréquence émise.
D'où f′ > f0. La fréquence f′ des bips perçus par le détecteur est supérieure à la fréquence avec laquelle les bips sont émis par la source.
2. La vélocimétrie Doppler en médecine
1 Utiliser l'effet Doppler pour déterminer une vitesse
Attention !
Lorsque vous avez des calculs avec fonctions trigonométriques, il faut vérifier que votre calculatrice est bien en degré ou en radian suivant les données.
D'après l'énoncé, la vitesse des globules rouges est donnée par la relation :
On peut donc déterminer cette vitesse : v = 
En utilisant la figure 2, on peut déduire que deux types de vaisseaux peuvent correspondre à cette vitesse : les artérioles et les veines.
2 Déduire une évolution en modifiant un paramètre dans une formule algébrique
De la relation précédente, nous pouvons déduire :
Or seule la fréquence d'émission varie dans cette formule 
donc Δf et fE sont proportionnels avec un coefficient de proportionnalité positif. L'augmentation de la fréquence des ultrasons provoque l'augmentation du décalage en fréquence.
3. Détermination de la vitesse d'un hélicoptère par effet Doppler
1 Déterminer par mesure une longueur d'onde
Attention !
Ne comptez pas les traits d'onde (il y en a 6) mais les espaces entre deux traits, c'est cela qui correspond à la longueur d'onde (il y en a 5).
Pour déterminer avec un maximum de précision la longueur d'onde, nous devons en mesurer un maximum, ici :
5λ0 = 2,6 cm = 26 mm.
D'où λ0 = 
sur le schéma. Mais le schéma possède une échelle de représentation dont il faut se servir.
12 mm représentent 1,0 m d'où 5,2 mm représentent : 
.
De même, on mesure 5 longueurs d'onde pour λ′ = 2,1 cm sur le schéma d'où λ′ = 35 cm après utilisation de l'échelle.
2 Déterminer une vitesse de propagation
λ0 = 
donc vson = λ0 × f0 = 0,43 × 8,1 × 102 ≈ 348 m/s
Cette valeur est effectivement proche de la vitesse du son (à connaître).
3 Utiliser une formule de l'effet Doppler
Pour f′, on utilisera la relation f′ = 
dans laquelle la valeur de la vitesse de l'onde sonore est celle que l'on a calculée à la question précédente car l'énoncé précise que cette vitesse ne dépend pas, dans ce cas, de la fréquence.
f′ = 
f′ > f0 nous avons un cas identique à celui de la question 2 de la partie 1 car la source sonore se rapproche du récepteur donc la fréquence augmente. Le son perçu paraît donc plus aigu que le son émis (sa fréquence est plus élevée).
4 Déterminer une vitesse de déplacement
D'après la relation de la première partie :
T′ = T0 × 
Donc 
La vitesse de l'hélicoptère est donnée par :
vS = vson × 
= vson × 
vS = 348 × 
vS = 62,6 m/s.
Cette vitesse paraît possible pour un hélicoptère puisque cela correspond à :
