De la liaison covalente à la spectroscopie infrarouge

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Ondes et particules
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
De la liaison covalente à la spectroscopie infrarouge
 
 

Ondes et particules

pchT_1309_04_00C

Observer

6

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 1 • 4 points

Les vibrations des liaisons de valence sont à l’origine des spectres d’absorption dans l’infrarouge proche. Une molécule absorbe de façon intense les ondes électromagnétiques dont la fréquence est proche d’une valeur appelée « fréquence propre de vibration » de la liaison covalente. Les atomes liés se mettent alors à vibrer autour de leur position d’équilibre.

Un modèle simple de la liaison chimique covalente qualifié de « modèle à oscillateur harmonique » (document 1) assimile la liaison chimique entre deux atomes à une liaison solide-ressort.

Document 1

Approximation de l’oscillateur harmonique


 

Une liaison peut être assimilée à un ressort de constante de raideur kr et de longueur à l’équilibre re.

1. Période propre d’un oscillateur harmonique

En laboratoire, on étudie un dispositif solide-ressort, schématisé dans les documents 2 et 3. Dans le référentiel du laboratoire, l’une des extrémités d’un ressort de raideur k est maintenue fixe. L’autre extrémité est reliée à un solide de masse m. La masse oscille autour de sa position d’équilibre avec une période notée T0, appelée « période propre ». Les données sont présentées dans les documents 2 et 3.

Document 2

Étude expérimentale du dispositif solide-ressort : influence de m

On étudie l’influence de la masse m du solide suspendu au ressort sur la période propre T0 des oscillations. On utilise un ressort de constante de raideur k= 50 N ∙ m−1 et on relève la période propre T0 des oscillations pour différentes masses m.

 

m (g)

50

100

150

200

250

300

350

400

T0 (s)

0,20

0,28

0,34

0,40

0,44

0,49

0,53

0,56

 

Puis on trace la courbe T0=f(m) (voir ci-dessous).


 

 
Document 3

Étude expérimentale du dispositif solide-ressort : influence de k

À l’aide du dispositif expérimental utilisé dans le document 2, on étudie ensuite l’influence de la constante de raideur k du ressort sur la période propre T0 des oscillations. Pour cela on utilise un solide de masse m= 0,500 kg et on relève la période propre T0 des oscillations du dispositif solide-ressort pour différents ressorts de constantes de raideur k.

 

k(N ∙ m−1)

30

40

50

60

70

80

90

100

T0 (s)

0,81

0,70

0,63

0,57

0,53

0,50

0,47

0,44

 

On trace T0 en fonction de k (figure 1).


 
Figure 1. T0=f(k)

 

On trace à présent T0 en fonction de (figure 2).

Figure 2.

 

1 La période propre T0 d’un oscillateur harmonique est-elle proportionnelle à la masse m du solide ? à la constante de raideur k du ressort ? Justifier. (0,5 point)

2 Parmi les expressions proposées dans le tableau suivant, une seule est cohérente avec les observations expérimentales des documents 2 et 3. Déterminer laquelle en expliquant le raisonnement. (0,75 point)

 

T0 = m× k

 

2. Spectre infrarouge

On assimile la liaison covalente O−H à un oscillateur harmonique de constante de raideur k= 7,2 × 102 N ∙ m−1 et de masse réduite mr.

Document 4

Oscillateur solide-ressort

Un oscillateur lié, à chaque extrémité, à des masses mA et mB est équivalent à un oscillateur dont une extrémité est fixe et dont la masse mr, dite masse réduite, fixée à l’extrémité mobile est :

Document 5

Spectre infrarouge de la vapeur d’eau

La molécule d’eau à l’état de vapeur absorbe du rayonnement, notamment dans l’infrarouge. Elle présente trois modes normaux de vibration, tous dans le domaine infrarouge proche, comme on peur le constater ci-dessous.


 

Un mode de vibration d’élongation (stretching) symétrique situé à 3 652 cm−1 (soit pour une longueur d’onde de 2,74 μm). Les deux liaisons s’allongent et se raccourcissent simultanément.


 

Un mode de vibration d’élongation (stretching) antisymétrique situé à 3 756 cm−1 (soit pour une longueur d’onde de 2,66 μm). Lorsqu’une liaison s’allonge, l’autre se raccourcit et vice-versa.


 

Un mode de vibration de déformation (dit de cisaillement) situé à 1 595 cm−1 (soit pour une longueur d’onde de 6,27 μm). L’angle entre les liaisons H−O−H oscille.


 

1 À l’aide du document 4, exprimer mr en fonction de m(O), masse d’un atome d’oxygène, et m(H), masse d’un atome d’hydrogène. (0,25 point)

2 En déduire que .

Calculer la valeur de mr. (0,5 point)

3 À l’aide des questions 2 de la partie 1 et 2 de la partie 2, montrer que la fréquence propre associée à cet oscillateur harmonique vaut :

f0= 1,1 × 1014 Hz. (1 point)

4 En calculant la longueur d’onde dans le vide associée à f0 et en supposant que le modèle précédent s’applique à la molécule d’eau, préciser à l’aide du document 5 s’il s’agit d’une vibration d’élongation ou d’une vibration de déformation. (1 point)

Données

  • Masses molaires atomiques : M(H) = 1,0 g ∙ mol−1 ; M(O) = 16,0 g ∙ mol−1.
  • Nombre d’Avogadro : NA= 6,02 × 1023 mol−1.
  • Célérité de la lumière dans le vide : c= 3,00 × 108 m ∙ s−1.

Notions et compétences en jeu 

Analyser des graphes Connaître la définition de fréquence et de longueur d’onde Utiliser des formules mathématiques.

Conseils du correcteur

Partie 1

1 Rappelez-vous de la définition de la proportionnalité en termes de représentation graphique.

2 Utilisez les représentations graphiques.

Partie 2

3 Commencez par calculer la période à l’aide des formules fournies. Ensuite, vous calculerez la fréquence.

4 Une fois la longueur d’onde calculée, il vous suffit de faire une lecture graphique sur le document 5.

Corrigé

1. Période propre d’un oscillateur harmonique

1 Analyser un graphe

Le graphe qui donne T0 en fonction de m (document 2) n’est pas une droite qui passe par l’origine : ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles. De la même façon, le graphe qui donne T0 en fonction de k (figure 1 du document 3) n’est pas non plus une droite passant par l’origine : ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

2 Valider une hypothèse

La figure 2 du document 3 montre que T0 est proportionnelle à la grandeur . Les relations possibles sont donc :

T0= 2π × et T0= 2π ×

Le graphe du document 2 montre que T0 est une fonction croissante de m. La seule relation possible est donc :

2. Spectre infrarouge

1 Utiliser une relation mathématique

 

Attention

Dans le système international, l’unité de masse est le kilogramme.

2 Faire un calcul numérique

Par définition de la masse molaire :  et 

En utilisant la relation de 1, on obtient :

 soit 

L’application numérique est donc :

= 1,56 × 10–24 g

= 1,56×10–27kg.

 

Attention

Le résultat d’une application numérique ne doit pas comporter davantage de chiffres significatifs que les données.

3 Utiliser une formule mathématique

D’après la relation obtenue en 2 de la partie 1 : T0= 2π ×

donc T0= 2π × = 9,25 × 10–15 s.

Par définition de la fréquence :

f0== 1,08 × 1014 Hz =1,1×1014Hz.

4 Calculer une longueur d’onde. Effectuer une lecture graphique

Par définition de la longueur d’onde :

λ === 2,7 × 10–6 m =2,7 µm.

Sur le graphe du document 5, on peut lire que cela correspond à une vibration d’élongation.