De la suite dans les idées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Suites numériques

De la suite dans les idées

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Étudiez ici les variations et la limite d’une suite numérique définie par récurrence.

 

On considère la suite numérique (un) définie sur ℕ par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1=12un2+3un32.

Partie A : Conjecture

1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2.

2. Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4.

3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un − 3.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1=12vn2.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1vn0.

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1vn=vn12vn+1.

b) En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn) converge ?

5. On note l la limite de la suite (vn). On admet que l appartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie l’égalité : l=12l2.

Déterminer la valeur de l.

6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?

Les clés du sujet

Partie B

2. Pour l’hérédité, travaillez sur les encadrements en partant de l’hypothèse de récurrence. Faites attention aux manipulations dans les inégalités. Identifiez pour cela les fonctions utilisées pour passer d’un encadrement au suivant.

3. b) Pensez à exploiter la factorisation de la question précédente et l’encadrement obtenu à la question 2. de la partie B pour déterminer le signe d’un produit.