De la suite dans les idées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
De la suite dans les idées

Suites numériques

matT_1411_03_00C

Ens. spécifique

8

Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 3 • 5 points

On considère la suite numérique (un) définie sur ℕ par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, .

Partie A : Conjecture

>1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2.

>2. Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4.

>3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn =un − 3.

>1. Montrer que, pour tout entier naturel n, .

>2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .

>3.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, .

b) En déduire le sens de variation de la suite (vn).

>4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn) converge ?

>5. On note l la limite de la suite (vn).

On admet que l appartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie l’égalité : .

Déterminer la valeur de l.

>6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variations d’une suite  E2a  → Partie B, 3. b) et 6.
  • Théorème de convergence monotone  E2e  → Partie B, 4.
  • Limites d’une suite et opérations  E2c  → Partie B, 6.
  • Raisonnement par récurrence  E1  → Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pour l’hérédité, travaillez sur les encadrements en partant de l’hypothèse de récurrence. Faites attention aux manipulations dans les inégalités. Identifiez pour cela les fonctions utilisées pour passer d’un encadrement au suivant.

>3. b) Pensez à exploiter la factorisation de la question précédente et l’encadrement obtenu à la question 2. de la partie B pour déterminer le signe d’un produit.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Calculer les premiers termes d’une suite

.

.

>2. Donner des valeurs approchées de certains termes avec la calculatrice

En remarquant que, pour tout entier naturel , où , nous obtenons à l’aide de la calculatrice (valeurs arrondies à 5 décimales) :

et .

>3. Émettre des conjectures à propos d’une suite

La suite semble croissante (remarquez que ) et elle semble converger vers 3.

Partie B

>1. Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel  :

Notez bien

Pour tous réels et , .

>2. Démontrer des inégalités à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit la propriété : . Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation : donc et est vraie.

Hérédité : supposons que soit vraie pour un entier naturel donné (c’est l’hypothèse de récurrence) : . Démontrons alors que est vraie.

Attention !

La fonction carré est décroissante sur .

Comme , nous obtenons : .

Par conséquent (la fonction affine est décroissante sur ℝ).

Ceci équivaut à et nous en déduisons que .

La propriété est donc vraie.

Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, de l’axiome de récurrence nous déduisons que : pour tout entier naturel,.

>3 a) Établir une égalité numérique

Notez bien

Pour tous réels , et  : .

Pour tout entier naturel  :

.

b) Déterminer le sens de variation d’une suite

Pour tout entier naturel  :

et

Par produit, nous obtenons que, pour tout entier naturel  :

La suiteest donc croissante.

>4. Justifier la convergence d’une suite

La suite est croissante (partie B, question 3. b)) et elle est majorée par (partie B, question 2. : pour tout entier naturel n).

D’après le théorème de convergence monotone, la suiteest convergente.

>5. Déterminer la limite d’une suite convergente

Notez bien

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

D’après l’énoncé, nous savons que , nous en déduisons donc que .

La suiteconverge donc vers 0.

>6. Valider des conjectures

  • Pour tout entier naturel , donc .

D’après la question 3. b) de la partie B, la suite est croissante.

Par conséquent, pour tout entier naturel , ce qui implique que soit encore .

La suiteest donc croissante, ce qui valide la première conjecture faite dans la partieA.

  • D’après la question 5. de la partie B, la suite converge vers 0.

Or, pour tout entier naturel , .

Par somme sur les limites, nous obtenons que .

La suiteconverge donc vers 3, ce qui valide la seconde conjecture faite dans la partieA.