Suites numériques
matT_1411_03_00C
Ens. spécifique
8
Amérique du Sud • Novembre 2014
Exercice 3 • 5 points
Partie A : Conjecture
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn
.
.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Généralités sur les suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Variations d'une suite
E2 → Partie B, 3. b) et 6.a - Théorème de convergence monotone
E2 → Partie B, 4.e - Limites d'une suite et opérations
E2c → Partie B, 6. - Raisonnement par récurrence
E1 → Partie B, 2.
Nos coups de pouce
Partie B
Partie A
> 1. Calculer les premiers termes d'une suite
> 2. Donner des valeurs approchées de certains termes avec la calculatrice
En remarquant que, pour tout entier naturel ,
où
, nous obtenons à l'aide de la calculatrice (valeurs arrondies à 5 décimales) :
> 3. Émettre des conjectures à propos d'une suite
Partie B
> 1. Établir une relation de récurrence
> 2. Démontrer des inégalités à l'aide d'un raisonnement par récurrence
Soit la propriété :
. Démontrons cette propriété par récurrence.
Initialisation : donc
et
est vraie.
Hérédité : supposons que soit vraie pour un entier naturel
donné (c'est l'hypothèse de récurrence) :
. Démontrons alors que
est vraie.
Par conséquent (la fonction affine
est décroissante sur
Ceci équivaut à et nous en déduisons que
.
Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, de l'axiome de récurrence nous déduisons que :
> 3 a) Établir une égalité numérique
b) Déterminer le sens de variation d'une suite
> 4. Justifier la convergence d'une suite
La suite est croissante (partie
(partie
pour tout entier naturel n).
D'après le théorème de convergence monotone,
> 5. Déterminer la limite d'une suite convergente
Notez bien
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
> 6. Valider des conjectures
D'après la question est croissante.
Par conséquent, pour tout entier naturel ,
ce qui implique que
soit encore
.
Or, pour tout entier naturel ,
.
Par somme sur les limites, nous obtenons que .