Suites numériques
matT_1411_03_00C
Ens. spécifique
8
Amérique du Sud • Novembre 2014
Exercice 3 • 5 points
On considère la suite numérique (un) définie sur 
.
Partie A : Conjecture
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn
.
.
.
On admet que l appartient à l'intervalle [−1 0] et vérifie l'égalité : 
.
Déterminer la valeur de l.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Généralités sur les suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Variations d'une suite
E2 a - Théorème de convergence monotone
E2 e - Limites d'une suite et opérations
E2c → Partie B, 6. - Raisonnement par récurrence
E1 → Partie B, 2.
Nos coups de pouce
Partie B
Partie A
> 1. Calculer les premiers termes d'une suite
.
.
> 2. Donner des valeurs approchées de certains termes avec la calculatrice
En remarquant que, pour tout entier naturel 
, 
où 
, nous obtenons à l'aide de la calculatrice (valeurs arrondies à 5 décimales) :
et 
.
> 3. Émettre des conjectures à propos d'une suite
La suite 
semble croissante (remarquez que 
) et elle semble converger vers 3.
Partie B
> 1. Établir une relation de récurrence
Pour tout entier naturel 
:
Notez bien
Pour tous réels 
et 
, 
.
> 2. Démontrer des inégalités à l'aide d'un raisonnement par récurrence
Soit 
la propriété : 
. Démontrons cette propriété par récurrence.
Initialisation : 
donc 
et 
est vraie.
Hérédité : supposons que 
soit vraie pour un entier naturel 
donné (c'est l'hypothèse de récurrence) : 
. Démontrons alors que 
est vraie.
Attention !
La fonction carré est décroissante sur 
.
Comme 
, nous obtenons : 
.
Par conséquent 
(la fonction affine 
est décroissante sur
Ceci équivaut à 
et nous en déduisons que 
.
La propriété 
est donc vraie.
Conclusion : la propriété 
étant initialisée et héréditaire, de l'axiome de récurrence nous déduisons que : 
> 3 a) Établir une égalité numérique
Notez bien
Pour tous réels 
, 
et 
: 
.
Pour tout entier naturel 
:
.
b) Déterminer le sens de variation d'une suite
Pour tout entier naturel 
:
et
Par produit, nous obtenons que, pour tout entier naturel 
:
> 4. Justifier la convergence d'une suite
La suite 
est croissante (partie 
(partie 
pour tout entier naturel n).
D'après le théorème de convergence monotone, 
> 5. Déterminer la limite d'une suite convergente
Notez bien
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
D'après l'énoncé, nous savons que 
, nous en déduisons donc que 
.
> 6. Valider des conjectures
- Pour tout entier naturel
, 
donc 
.
D'après la question 
est croissante.
Par conséquent, pour tout entier naturel 
, 
ce qui implique que 
soit encore 
.
- D'après la question
5. de la partieB , la suite
converge vers 0.
Or, pour tout entier naturel 
, 
.
Par somme sur les limites, nous obtenons que 
.
