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On considère la suite numérique (u_n) définie sur ℕ par u₀ = 2 et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=-\frac{1}{2}{u}_n^2+3u_n-\frac{3}{2}$.

Partie A : Conjecture

▶ 1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u₁ et u₂.

▶ 2. Donner une valeur approchée à 10⁻⁵ près des termes u₃ et u₄.

▶ 3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u_n).

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (v_n) définie pour tout entier naturel n, par v_n = u_n − 3.

▶ 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=-\frac{1}{2}{v}_n^2$.

▶ 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $-1\text{≤}{v}_n\text{≤}0$.

▶ 3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}-v_n=-v_n\left(\frac{1}{2}{v}_n+1\right)$.

b) En déduire le sens de variation de la suite (v_n).

▶ 4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (v_n) converge ?

▶ 5. On note l la limite de la suite (v_n). On admet que l appartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie l’égalité : $l=-\frac{1}{2}{l}^2$.

Déterminer la valeur de l.

▶ 6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?