De la suite dans les idées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 5 • 3 points

De la suite dans les idées

On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

{z0=0zn+1=12i×zn+5.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par u= zzA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1=12i×un.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel :

un=(12i)n(42i).

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1  1. b)

Argument d’un nombre complexe  E19 • E22  2.

Nos coups de pouce

1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.

2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.