Nombres complexes et applications
matT_1605_09_09C
Ens. spécifique
21
Liban • Mai 2016
Exercice 5 • 3 points
De la suite dans les idées
On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.
▶ 1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn – zA.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, .
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :
.
▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 35 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Raisonnement par récurrence E1 → 1. b)
Argument d’un nombre complexe E19 • E22 → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.
▶ 2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.