On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

$\{\begin{array}{l}{z}_0=0\\ z_{n+1}=\frac{1}{2}\text{i}\times z_n+5.\end{array}$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

▶ 1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn – zA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\frac{1}{2}\text{i}\times u_n$.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

$u_n={\left(\frac{1}{2}\text{i}\right)}^n(-4-2\text{i})$.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.