Nombres complexes et applications

matT_1605_09_09C

Ens. spécifique

Liban • Mai 2016

Exercice 5 • 3 points

De la suite dans les idées

On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

${\begin{cases} z_{0} = 0 \\ z_{n + 1} = \frac{1}{2} i \times z_{n} + 5 . \end{cases}$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

▶ 1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn – zA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = \frac{1}{2} i \times u_{n}$ .

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

$u_{n} = {(\frac{1}{2} i)}^{n} (- 4 - 2 i)$ .

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence E1 → 1. b)

Argument d’un nombre complexe E19 • E22 → 2.

Nos coups de pouce

▶ 1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.

▶ 2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.

Corrigé

▶ 1. a) Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel $n$ :

Notez bien

$\begin{array}{l} i^{2} = - 1 et \\ i \times (- i) = - i^{2} = 1 . \end{array}$

$\begin{matrix} u_{n + 1} = z_{n + 1} - z_{A} = \frac{1}{2} i \times z_{n} + 5 - (4 + 2 i) = \frac{1}{2} i \times z_{n} + 5 - 4 - 2 i \\ = \frac{1}{2} i \times z_{n} + 1 - 2 i \\ = \frac{1}{2} i \times (z_{n} + \frac{1 - 2 i}{\frac{1}{2} i}) = \frac{1}{2} i \times (z_{n} + \frac{1 - 2 i}{i} \times 2) \\ = \frac{1}{2} i \times (z_{n} + \frac{2 - 4 i}{i}) = \frac{1}{2} i \times (z_{n} + \frac{2 - 4 i}{i} \times \frac{- i}{- i}) \\ = \frac{1}{2} i \times (z_{n} - 4 - 2 i) = \frac{1}{2} i \times (z_{n} - z_{A}) \\ = \frac{1}{2} i \times u_{n} . \end{matrix}$

b) Déterminer la formule explicite d’une suite

On considère la propriété $P (n) : u_{n} = {(\frac{1}{2} i)}^{n} (- 4 - 2 i) .$

Initialisation

${(\frac{1}{2} i)}^{0} \times (- 4 - 2 i) = 1 \times (- 4 - 2 i) = - 4 - 2 i$ et $u_{0} = z_{0} - z_{A} = 0 - (4 + 2 i) = - 4 - 2 i$ .

On a donc $u_{0} = {(\frac{1}{2} i)}^{0} \times (- 4 - 2 i)$ et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété $P (k)$ est vraie pour un entier naturel $k$ : $u_{k} = {(\frac{1}{2} i)}^{k} (- 4 - 2 i)$ (hypothèse de récurrence). On démontre alors que $P (k + 1)$ est vraie :

$\underset{question 1 . a)}{\underset{︸}{u_{k + 1} = \frac{1}{2} i \times u_{k}}} = \frac{1}{2} i \times \underset{hypothèse de récurrence}{\underset{︸}{{(\frac{1}{2} i)}^{k} (- 4 - 2 i)}} = {(\frac{1}{2} i)}^{k + 1} (- 4 - 2 i)$ .

La propriété est donc héréditaire.

La propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} = {(\frac{1}{2} i)}^{n} (- 4 - 2 i) .$

▶ 2. Démontrer que des points sont alignés

D’après la question 1. b), on remarque que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} \neq 0$ et $z_{n} \neq z_{A}$ .

Pour tout entier naturel $n$ :

$(\vec{{AM}_{n}}, \vec{{AM}_{n + 4}}) = \arg (\frac{z_{n + 4} - z_{A}}{z_{n} - z_{A}}) = \arg (\frac{u_{n + 4}}{u_{n}}) [2 π]$ .

Notez bien

$i^{4} = {(i^{2})}^{2} = {(- 1)}^{2} = 1$

D’après la question 1. b), pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = {(\frac{1}{2} i)}^{n} (- 4 - 2 i)$ donc $u_{n + 4} = {(\frac{1}{2} i)}^{n + 4} (- 4 - 2 i)$ et $\frac{u_{n + 4}}{u_{n}} = {(\frac{1}{2} i)}^{4} = \frac{1}{2^{4}} \times i^{4} = \frac{1}{16} \in] 0; + \infty [$ .

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :

$(\vec{{AM}_{n}}, \vec{{AM}_{n + 4}}) = \arg (\frac{u_{n + 4}}{u_{n}}) = \arg (\frac{1}{16}) = 0 [2 π]$ .

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ , les vecteurs $\vec{{AM}_{n}}$ et $\vec{{AM}_{n + 4}}$ sont colinéaires de même sens et les points $A, M_{n} et M_{n + 4}$ sont alignés.

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