De la suite dans les idées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 5 • 3 points

De la suite dans les idées

On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

{z0=0zn+1=12i×zn+5.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par u= zzA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1=12i×un.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel :

un=(12i)n(42i).

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1  1. b)

Argument d’un nombre complexe  E19 • E22  2.

Nos coups de pouce

1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.

2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.

Corrigé

Corrigé

1. a) Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel n :

Notez bien

i2=1   et   i×(i)=i2=1.

un+1=zn+1zA=12i×zn+5(4+2i)=12i×zn+542i     =12i×zn+12i      =12i×(zn+12i12i)=12i×(zn+12ii×2)      =12i×(zn+24ii)=12i×(zn+24ii×ii)      =12i×(zn42i)=12i×(znzA)=12i×un.

b) Déterminer la formule explicite d’une suite

On considère la propriété P(n): un=(12i)n(42i).

Initialisation

(12i)0×(42i)=1×(42i)=42i et u0=z0zA=0(4+2i)=42i.

On a donc u0=(12i)0×(42i) et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété P(k) est vraie pour un entier naturel k : uk=(12i)k(42i) (hypothèse de récurrence). On démontre alors que P(k+1) est vraie :

uk+1=12i×ukquestion 1.a)=12i×(12i)k(42i)hypothèse de récurrence=(12i)k+1(42i).

La propriété est donc héréditaire.

La propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie et pour tout entier naturel n :

un=(12i)n(42i).

2. Démontrer que des points sont alignés

D’après la question 1. b), on remarque que, pour tout entier naturel n, un0 et znzA.

Pour tout entier naturel n :

(AMn,AMn+4)=arg(zn+4zAznzA)=arg(un+4un)[2π].

Notez bien

i4=(i2)2=(1)2=1

D’après la question 1. b), pour tout entier naturel n, un=(12i)n(42i) donc un+4=(12i)n+4(42i) et un+4un=(12i)4=124×i4=116]0;+[.

Par conséquent, pour tout entier naturel n :

(AMn,AMn+4)=arg(un+4un)=arg(116)=0[2π].

Ainsi, pour tout entier naturel n, les vecteurs AMn et AMn+4 sont colinéaires de même sens et les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.