Annale corrigée Exercice

De la suite dans les idées

Suites numériques

De la suite dans les idées

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Étudiez ici les variations et la limite d'une suite numérique définie par récurrence.

 

On considère la suite numérique (un) définie sur ℕ par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1=12un2+3un32.

Partie A : Conjecture

1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2.

2. Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4.

3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un − 3.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1=12vn2.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1vn0.

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1vn=vn12vn+1.

b) En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn) converge ?

5. On note l la limite de la suite (vn). On admet que l appartient à l'intervalle [−1 ; 0] et vérifie l'égalité : l=12l2.

Déterminer la valeur de l.

6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?

Les clés du sujet

Partie B

2. Pour l'hérédité, travaillez sur les encadrements en partant de l'hypothèse de récurrence. Faites attention aux manipulations dans les inégalités. Identifiez pour cela les fonctions utilisées pour passer d'un encadrement au suivant.

3. b) Pensez à exploiter la factorisation de la question précédente et l'encadrement obtenu à la question 2. de la partie B pour déterminer le signe d'un produit.

Partie A

1. Calculer les premiers termes d'une suite

u1=12u02+3u032=12×22+3×232=2+632=52.

u2=12u12+3u132=12×522+3×5232=258+6=238.

2. Donner des valeurs approchées de certains termes avec la calculatrice

En remarquant que, pour tout entier naturel n, un+1=f(un)fx=12x2+3x32, nous obtenons à l'aide de la calculatrice (valeurs arrondies à 5 décimales) :

u3=fu2=3831282,99219 et u4=fu3=98303327682,99997.

3. Émettre des conjectures à propos d'une suite

La suite un semble croissante (remarquez que u1u2u3u4) et elle semble converger vers 3.

Partie B

1. Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+13=12un2+3un323=12un2+3un92

à noter

Pour tous réels a et b, a22ab+b2=(ab)2.

vn+1=12un26un+9=12un32=12vn2.

2. Démontrer des inégalités à l'aide d'un raisonnement par récurrence

Soit P(n) la propriété : 1vn0. Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation : v0=u03=23=1 donc 1v00 et P(0) est vraie.

Hérédité : supposons que P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné (c'est l'hypothèse de récurrence) : 1vk0. Démontrons alors que P(k+1) est vraie.

attention !

La fonction carré est décroissante sur ] ; 0].

Comme 1vk0, nous obtenons : 0vk21.

Par conséquent 1212vk20 (la fonction affine x12x est décroissante sur ℝ).

Ceci équivaut à 12vk+10 et nous en déduisons que 1vk+10.

La propriété P(k+1) est donc vraie.

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée et héréditaire, de l'axiome de récurrence nous déduisons que : pour tout entier naturel n, 1vn0.

3. a) Établir une égalité numérique

à noter

Pour tous réels a, b et k : ka+kb=k(a+b).

Pour tout entier naturel n :

vn+1vn=12vn2vn=vn12vn+1.

b) Déterminer le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel n :

1vn00vn1

et

1vn01212vn01212vn+11.

Par produit, nous obtenons que, pour tout entier naturel n :

vn+1vn=vn12vn+10.

La suite (vn) est donc croissante.

4. Justifier la convergence d'une suite

La suite (vn) est croissante (partie B, question 3. b)) et elle est majorée par 0 (partie B, question 2. : vn0 pour tout entier naturel n).

D'après le théorème de convergence monotone, la suite (vn) est convergente.

5. Déterminer la limite d'une suite convergente

à noter

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

l=12l2l+12l2=0l×1+12l=0

l×1+12l=0l=0 ou 1+12l=0l=0 ou l=2.

D'après l'énoncé, nous savons que l[1 ; 0], nous en déduisons donc que l=0.

La suite (vn) converge donc vers 0.

6. Valider des conjectures

Pour tout entier naturel n, vn=un3 donc un=vn+3.

D'après la question 3. b) de la partie B, la suite (vn) est croissante.

Par conséquent, pour tout entier naturel n, vnvn+1 ce qui implique que vn+3vn+1+3 soit encore unun+1.

La suite (un) est donc croissante, ce qui valide la première conjecture faite dans la partie A.

D'après la question 5. de la partie B, la suite (vn) converge vers 0.

Or, pour tout entier naturel n, un=vn+3.

Par somme sur les limites, nous obtenons que limn+un=3.

La suite (un) converge donc vers 3, ce qui valide la seconde conjecture faite dans la partie A.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner