De la suite dans les idées

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
De la suite dans les idées

Suites numériques

matT_1411_03_00C

Ens. spécifique

8

Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 3 • 5 points

On considère la suite numérique (un) définie sur par u0= 2 et pour tout entier naturel n, .

Partie A  : Conjecture

>1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2.

>2. Donner une valeur approchée à 10&minus 5 près des termes u3 et u4.

>3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).

Partie B  : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n, par  vn=un &minus 3.

>1. Montrer que, pour tout entier naturel n, .

>2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .

>3.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, .

b) En déduire le sens de variation de la suite (vn).

>4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn) converge  ?

>5. On note l la limite de la suite (vn).

On admet que l appartient à l’intervalle [&minus 1  0] et vérifie l’égalité  : .

Déterminer la valeur de l.

>6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées  ?

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variations d’une suite   E2a  → Partie B, 3. b) et 6.
  • Théorème de convergence monotone   E2e  → Partie B, 4.
  • Limites d’une suite et opérations   E2c  → Partie B, 6.
  • Raisonnement par récurrence   E1  → Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pour l’hérédité, travaillez sur les encadrements en partant de l’hypothèse de récurrence. Faites attention aux manipulations dans les inégalités. Identifiez pour cela les fonctions utilisées pour passer d’un encadrement au suivant.

>3. b) Pensez à exploiter la factorisation de la question précédente et l’encadrement obtenu à la question 2. de la partie B pour déterminer le signe d’un produit.