Partie A

▶ 1. Calculer les premiers termes d'une suite

$u_1=-\frac{1}{2}{u}_0^2+3u_0-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\times 2^2+3\times 2-\frac{3}{2}=-2+6-\frac{3}{2}=$$\frac{5}{2}$.

$u_2=-\frac{1}{2}{u}_1^2+3u_1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\times {\left(\frac{5}{2}\right)}^2+3\times \frac{5}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{25}{8}+6=$$\frac{23}{8}$.

▶ 2. Donner des valeurs approchées de certains termes avec la calculatrice

En remarquant que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-\frac{3}{2}$, nous obtenons à l'aide de la calculatrice (valeurs arrondies à 5 décimales) :

$u_3=f\left(u_2\right)=\frac{383}{128}$$\approx \mathrm{2,99219}$ et $u_4=f\left(u_3\right)=\frac{98303}{32768}$$\approx \mathrm{2,99997}$.

▶ 3. Émettre des conjectures à propos d'une suite

La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante (remarquez que ) et elle semble converger vers 3.

Partie B

▶ 1. Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1}=u_{n+1}-3=\left(-\frac{1}{2}{u}_n^2+3u_n-\frac{3}{2}\right)-3=-\frac{1}{2}{u}_n^2+3u_n-\frac{9}{2}$

$v_{n+1}=-\frac{1}{2}\left(u_n^2-6u_n+9\right)=-\frac{1}{2}{\left(u_n-3\right)}^2$$=-\frac{1}{2}{v}_n^2$.

▶ 2. Démontrer des inégalités à l'aide d'un raisonnement par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $-1\text{≤}{v}_n\text{≤}0$. Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation : $v_0=u_0-3=2-3=-1$ donc $-1\text{≤}{v}_0\text{≤}0$ et $P(0)$ est vraie.

Hérédité : supposons que $P(k)$ soit vraie pour un entier naturel $k$ donné (c'est l'hypothèse de récurrence) : $-1\text{≤}{v}_k\text{≤}0$. Démontrons alors que $P(k+1)$ est vraie.

Comme $-1\text{≤}{v}_k\text{≤}0$, nous obtenons : $0\text{≤}{v}_k{}^2\text{≤}1$.

Par conséquent $-\frac{1}{2}\text{≤}-\frac{1}{2}{v}_k^2\text{≤}0$ (la fonction affine $x\mapsto -\frac{1}{2}x$ est décroissante sur ℝ).

Ceci équivaut à $-\frac{1}{2}\text{≤}{v}_{k+1}\text{≤}0$ et nous en déduisons que $-1\text{≤}{v}_{k+1}\text{≤}0$.

La propriété $P(k+1)$ est donc vraie.

Conclusion : la propriété $P(n)$ étant initialisée et héréditaire, de l'axiome de récurrence nous déduisons que : pour tout entier naturel $n$, $-1\text{≤}{v}_n\text{≤}0$.

▶ 3. a) Établir une égalité numérique

Pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{2}{v}_n{}^2-v_n=-v_n\left(\frac{1}{2}{v}_n+1\right)$.

b) Déterminer le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel $n$ :

$-1\le v_n\le 0\iff$$0\le -v_n\le 1$

et

$-1\le v_n\le 0\iff -\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}{v}_n\le 0\iff$$\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}{v}_n+1\le 1$.

Par produit, nous obtenons que, pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1}-v_n=-v_n\left(\frac{1}{2}{v}_n+1\right)\text{≥}0.$

La suite $(v_n)$ est donc croissante.

▶ 4. Justifier la convergence d'une suite

La suite $(v_n)$ est croissante (partie B, question 3. b)) et elle est majorée par $0$ (partie B, question 2. : $v_n\text{≤}0$ pour tout entier naturel n).

D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(v_n)$ est convergente.

▶ 5. Déterminer la limite d'une suite convergente

$l=-\frac{1}{2}{l}^2\iff l+\frac{1}{2}{l}^2=0\iff l\times \left(1+\frac{1}{2}l\right)=0$

$\begin{array}{l}l\times \left(1+\frac{1}{2}l\right)=0\iff l=0\text{ ou }1+\frac{1}{2}l=0\\ \iff l=0\text{ ou }l=-2.\end{array}$

D'après l'énoncé, nous savons que $l\in [-1 ; 0]$, nous en déduisons donc que $l=0$.

La suite $(v_n)$ converge donc vers 0.

▶ 6. Valider des conjectures

Pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$ donc $u_n=v_n+3$.

D'après la question 3. b) de la partie B, la suite $(v_n)$ est croissante.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n\text{≤}{v}_{n+1}$ ce qui implique que $v_n+3\text{≤}{v}_{n+1}+3$ soit encore $u_n\text{≤}{u}_{n+1}$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante, ce qui valide la première conjecture faite dans la partie A.

D'après la question 5. de la partie B, la suite $(v_n)$ converge vers 0.

Or, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+3$.

Par somme sur les limites, nous obtenons que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$.

La suite $(u_n)$ converge donc vers 3, ce qui valide la seconde conjecture faite dans la partie A.