Décollage d'une fusée : la propulsion par réaction

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Cinématique et dynamique newtoniennes

pchT_1705_00_11C

FESIC 2017 • Exercice 14

Cinématique et dynamique newtoniennes

Décollage d’une fusée : la propulsion par réaction

document Masse d’une fusée au décollage

Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l’Europe à Kourou (Guyane), emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la station spatiale internationale (ISS). Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 8 × 102 tonnes, dont environ 3,5 tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et vêtements pour l’équipage à bord de l’ATV.

D’après https://www.esa.int/esaCP/Pr_10_2012_p_FR.html

On étudie le décollage de la fusée et on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

le débit d’éjection des gaz au décollage vaut D = 3,0 × 103 kg ∙ s–1 ;

la vitesse d’éjection des gaz au décollage vaut vG = 4,0 km ∙ s–1.

À la date t = 0 s, le système ${fusée + gaz}$ , supposé pseudo isolé, est immobile.

▶ Pour chaque affirmation, indiquez si elle est vraie ou fausse.

a) Un système pseudo isolé n’est soumis qu’à son poids.

b) D’après la deuxième loi de Newton, si un système est pseudo isolé alors sa quantité de mouvement est nulle.

On considère que la masse de gaz éjectée est négligeable devant la masse de la fusée et que, par conséquent, cette dernière n’a pas varié à la date t = 1 s.

c) La vitesse de la fusée à la date t = 1 s est égale à 10 m ∙ s–1.

En réalité, le système ${fusée + gaz}$ n’est pas pseudo isolé. On considère l’instant t = 1 s où l’ensemble vient de décoller. La force de poussée a pour norme : F = D × vG ; l’intensité du champ de pesanteur est g = 10 m ∙ s–2.

d) À cet instant, l’accélération du système a pour valeur a = 5 m ∙ s–2.

Corrigé

a) Faux. Par définition, un système pseudo isolé est soumis à un ensemble de forces qui se compensent.

b) Faux. D’après la 1re loi de Newton, si un système est pseudo isolé alors : $\sum^{} \vec{F_{e x t}} = \vec{0}$

D’où $\vec{v_{G}} = \vec{constant}$

Donc $\vec{p} = \vec{constant}$

c) Faux. D’après la conservation de la quantité de mouvement :

$\vec{p} (t = 0 s) = \vec{p} (t = 1 s)$

Donc $\vec{0} = \vec{p_{fusée}}$ + $\vec{p_{gaz}}$

d’où $\vec{0} = m_{fusée} \vec{v_{fusée}}$ + $m_{gaz} \vec{v_{gaz}}$

Ainsi, on a :

$\begin{matrix} v_{fusée} = \frac{m_{gaz} v_{gaz}}{m_{fusée}} = \frac{D \times ∆ t \times v_{gaz}}{m_{fusée}} = \frac{3,0 \times 10^{3} \times 1 \times 4 000}{8 \times 10^{2} \times 1 000} \\ v_{fusée} = \frac{12 \times 10^{6}}{8 \times 10^{5}} = 1,5 \times 10 = 15 m \cdot s^{- 1} \end{matrix}$

d) Vrai. D’après la 2e loi de Newton projetée sur un axe vertical orienté vers le haut :

F – P = ma

D’où $a = \frac{F - P}{m}$ = $\frac{D \times v_{gaz} - m g}{m}$

$a = \frac{3,0 \times 10^{3} \times 4,0 \times 10^{3} - 8 \times 10^{5} \times 10}{8 \times 10^{5}} = \frac{12 \times 10^{6} - 8 \times 10^{6}}{8 \times 10^{5}} = 5$ m ∙ s–2

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