Annale corrigée Exercice

Décompositions

S'entraîner

Utiliser la divisibilité et les nombres premiers

mat3_1909_07_00C

France métropolitaine • Septembre 2019

Décompositions

Exercice 2

15 min

14 points

▶ 1. a) Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 744.

b) En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 744².

c) À l'aide de cette décomposition, trouver x tel que x³ = 2 744².

▶ 2. Soient a et b deux nombres entiers supérieurs à 2 tels que a³ = b².

a) Calculer b lorsque a = 100.

b) Déterminer deux nombres entiers a et b supérieurs à 2 et inférieurs à 10 qui vérifient l'égalité a³ = b².

Les clés du sujet

Cet exercice te permet de vérifier tes connaissances dans le domaine de l'arithmétique et des puissances.

▶ 1. a) 2 744 = 2 × 2 × 2 × 343 = 2³ × 7 × 7 × 7

D'où :

$2 744 = 2^{3} \times 7^{3}$ .

b) D'après a) :

2 744² = ${(2^{3} \times 7^{3})}^{2}$

$2 744^{2} = 2^{6} \times 7^{6}$ .

c) Soit x tel que x³ = 2 744², alors :

x³ = ${(2^{3} \times 7^{3})}^{2}$ = ${(2^{2} \times 7^{2})}^{3}$

donc :

$x = 2^{2} \times 7^{2} = 196$ .

▶ 2. a) Si a³ = b² avec a = 100 et b > 2, alors :

100³ = b²

b² = 1 000 000

b = $\sqrt[]{1 000 000}$

$b = 1 000$ .

b) Dressons un tableau de tous les cas possibles :

Donc les valeurs qui conviennent sont :

$a = 4 et b = 8$ .

Et j'accède à l'ensemble
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