Annale corrigée Exercice

Décompositions

France métropolitaine • Septembre 2019

Décompositions

Exercice 2

15 min

14 points

1. a) Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 744.

b) En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 7442.

c) À l'aide de cette décomposition, trouver x tel que x3 = 2 7442.

2. Soient a et b deux nombres entiers supérieurs à 2 tels que a3 = b2.

a) Calculer b lorsque a = 100.

b) Déterminer deux nombres entiers a et b supérieurs à 2 et inférieurs à 10 qui vérifient l'égalité a3 = b2.

 

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Cet exercice te permet de vérifier tes connaissances dans le domaine de l'arithmétique et des puissances.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers; Vois si le nombre est divisible par 2, puis par 3, puis par 5…; Ligne 2 : b) et c) Calculer avec des puissances; Utilise les formules (a × b)n = an × bn et (am)n = amn.; Ligne 3 : ▶ 2. a) Utiliser les règles de calculs avec les puissances; Tu as à résoudre une équation carrée, pense à la racine carrée.; Ligne 4 : b) Résoudre un problème; Dresse un tableau de valeurs de tous les cas possibles avec a allant de 2 à 10.;

1. a) 2 744 = 2 × 2 × 2 × 343 = 23 × 7 × 7 × 7

D'où :

2744=23×73.

b) D'après a) :

2 744² = (23×73)2

27442=26×76.

c) Soit x tel que x3 = 2 744², alors :

x3 = (23×73)2(22×72)3

donc :

x=22×72=196.

2. a) Si a3 = b² avec a = 100 et b > 2, alors :

1003 = b2

b² = 1 000 000

b = 1 000 000

b=1 000.

b) Dressons un tableau de tous les cas possibles :

Tableau de 10 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Valeur de a;Valeur de a3;Valeur de b;Valeur de b²;Corps du tableau de 9 lignes ;Ligne 1 : 2; 8; 2; 4; Ligne 2 : 3; 27; 3; 9; Ligne 3 : 4; 64; 4; 16; Ligne 4 : 5; 125; 5; 25; Ligne 5 : 6; 216; 6; 36; Ligne 6 : 7; 343; 7; 49; Ligne 7 : 8; 512; 8; 64; Ligne 8 : 9; 729; 9; 81; Ligne 9 : 10; 1 000; 10; 100;

Donc les valeurs qui conviennent sont :

a=4 et b=8.

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