Partie A : Caractérisation de la convexité

▶ 1. a) Déterminer les composantes d'un vecteur

Les composantes du vecteur $\overrightarrow{{\text{B}}_0\text{M}}$ sont $\left(\begin{array}{c}{x}_0-b\\ 0\end{array}\right),$ celles de $\overrightarrow{{\text{B}}_0{\text{A}}_0}$ sont $\left(\begin{array}{c}a-b\\ 0\end{array}\right)$.

On a donc $x_0-b=t(a-b)$ ou encore $x_0=b+t(a-b)=ta+(1-t)b$.

b) Déterminer l'équation réduite d'une droite

L'équation réduite d'une droite est de la forme $y=mx+p$ où m est le coefficient de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.

Pour déterminer p, on traduit le fait que le point $\text{B}(b,f(b))$ appartienne à la droite (AB) : on a $f(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b+p$, d'où $p=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b$.

Ainsi, l'équation réduite de la tangente cherchée est :

$y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$ + $f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b$, soit $y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)+f(b)$.

c) Déduire une inégalité traduisant la convexité

Par hypothèse, f est convexe sur I, donc $\mathcal{C}$ est située au-dessous de ses sécantes ou cordes. La droite $(\text{AB)}$ est une sécante de $\mathcal{C}$.

Considérons les points N et P de même abscisse $x_0$ (compris entre les abscisses de ${\text{A}}_0$ et ${\text{B}}_0$), N étant un point de la droite $(\text{AB)}$ et P un point de la courbe $\mathcal{C}$.

La fonction f étant convexe sur I, P est donc au-dessous de N, ce qui se traduit par le fait que l'ordonnée de P soit inférieure à celle de N.

P a pour coordonnées $(ta+(1-t)b;f(ta+(1-t)b))$ car P est un point de $\mathcal{C}$.

N a pour ordonnée y₀ telle que :

$y_0=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x_0-b)+f(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(ta+(1-t)b-b)+f(b),$

soit $\begin{array}{c}{y}_0=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(t(a-b))+f(b)=-t(f(b)-f(a))+f(b)\\ =tf(a)+(1-t)f(b).\end{array}$

Ainsi N a pour coordonnées $(ta+(1-t)b;tf(a)+(1-t)f(b))$.

Puisque l'ordonnée de P est inférieure à celle de N, on peut écrire :

$f(ta+(1-t)b)\le tf(a)+(1-t)f(b)$.

d) Si f est concave sur I, la courbe représentant f est située au-dessus de ses cordes.

L'ordonnée de P est donc supérieure à celle de N, soit :

$f(ta+(1-t)b)\ge tf(a)+(1-t)f(b)$.

Partie B : Applications

▶ 1. Étudier la convexité d'une fonction composée

Soient a et b deux éléments de I et $t\in \left[0;1\right]$.

Puisque f est convexe sur I, on a :

$f(ta+(1-t)b)\le tf(a)+(1-t)f(b)$.

Comme g est croissante sur $\text{ℝ}$, on en déduit que :

$g\left[f\left(ta+(1-t)b\right)\right]\le g\left[tf(a)+(1-t)f(b)\right]$.

De plus, g étant convexe, on a aussi d'après la partie A :

$g\left[tf(a)+(1-t)f(b)\right]\le tg\left[f(a)\right]+(1-t)g\left[f(b)\right]$.

Cela entraîne $g\left[f(ta+(1-t)b)\right]\le tg\left[f(a)\right]+(1-t)g\left[f(b)\right]$,

soit $h\left[ta+(1-t)b\right]\le th(a)+(1-t)h(b)$.

Cette inégalité permet d'affirmer que la fonction $h:x \mapsto g\left[f(x)\right]$ est convexe sur I.

▶ 2. a) Étudier la convexité de la fonction ln sur $\left]0;+\infty \right[$

Pour montrer que la fonction logarithme népérien est concave sur $\left]0;+\infty \right[$, on commence par calculer la dérivée seconde.

La fonction ln est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et a pour dérivée $x\mapsto$$\frac{1}{x}$.

De même, la fonction $x\mapsto$$\frac{1}{x}$ est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et a pour dérivée $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$.

La dérivée seconde de la fonction ln est donc négative. On en déduit que la fonction logarithme népérien est concave sur $\left]0;+\infty \right[$.

b) Démontrer des inégalités

D'après l'inégalité démontrée dans la partie A, on peut écrire que, pour tout $t\in \left[0;1\right]$, $\text{ln}(ta+(1 - t)b)\ge t\text{ln}(a)+(1 - t)\text{ln}(b)$ car la fonction ln est concave sur $\left]0;+\infty \right[$.

En donnant à t la valeur $\frac{1}{2}$, on obtient : $\ln \left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\right)\ge \frac{1}{2}\ln a+\frac{1}{2}\ln b$.

L'inégalité précédente peut encore s'écrire $\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \text{ln}\sqrt{a}+\text{ln}\sqrt{b}$ ou encore $\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \text{ln}\left(\sqrt{ab}\right)$.

La fonction ln est croissante, on en déduit que $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.