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Définition d'une fonction convexe par une inégalité

Compléments sur les fonctions

Définition d'une fonction convexe par une inégalité

50 min

5 points

Intérêt du sujet  Il y a plusieurs façons d'aborder la notion de convexité. Ce sujet vous en propose une nouvelle qui lie des notions de géométrie et d'analyse, et qui est fondée sur l'étude d'une inégalité.

 

Soit f une fonction convexe sur un intervalle I et soient a et b deux éléments de I.

On considère les points A et B de la courbe représentative de f de coordonnées respectives A(a;f(a)) et B(b;f(b)).

Soient A0(a;0) et B0(b;0) deux points de l'axe des abscisses. On se propose de montrer que f est convexe sur a;b si, pour tout t appartenant à 0;1, on a f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b).

Partie A : Caractérisation de la convexité

1. Soit M un point d'abscisse x0 situé entre A0 et B0 tel que B0M=tB0A0 avec t0;1.

a) Déterminer l'abscisse de M en fonction de a, b et t.

b) Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).

c) En traduisant que f est une fonction convexe sur a;b à l'aide de la position de la courbe par rapport à ses cordes, montrer que f est convexe si, pour tout t0;1, f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b).

d) En déduire que f est concave si f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b).

Partie B : Applications

1. Soient f une fonction convexe sur un intervalle I et g une fonction croissante et convexe sur .

Montrer que la fonction h:x gf(x) est convexe sur I.

2. a) Montrer que la fonction logarithme népérien est concave sur 0;+.

b) En déduire que, pour tous a et b réels strictement positifs, on a :

12lna+12lnbln12a+12b, puis que aba+b2.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. a) Traduisez l'égalité vectorielle en utilisant l'abscisse et l'ordonnée de chacun des deux vecteurs. Pour rappel : deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes composantes.

c) La convexité précise la position de la courbe par rapport à ses cordes. Un point de la courbe et d'abscisse x comprise entre a et b (exprimée en fonction de a, b, t) a une ordonnée inférieure à celle du point de même abscisse situé sur la corde. Il peut être utile de faire un schéma.

Partie B

1. Traduisez la convexité de f en utilisant l'inégalité de la question 1. c), puis utilisez le fait que g est croissante sur I, donc conserve l'ordre entre les antécédents et les images.

2. a) Pour montrer que la fonction logarithme népérien est concave, on utilise le signe de la dérivée seconde.

b) La première inégalité demandée se déduit du résultat obtenu dans la partie A en choisissant une valeur de t pertinente. Pour obtenir la seconde inégalité, il suffit d'utiliser les règles de calcul de la fonction ln.

Partie A : Caractérisation de la convexité

1. a) Déterminer les composantes d'un vecteur

à noter

L'égalité B0M=tB0A0 avec t0;1 traduit le fait que le point M est situé entre A0 et B0, il est donc sur le segment A0B0.

Les composantes du vecteur B0M sont x0b0, celles de B0A0 sont ab0.

On a donc x0b=t(ab) ou encore x0=b+t(ab)=ta+(1t)b.

b) Déterminer l'équation réduite d'une droite

à noter

Le coefficient directeur d'une droite (AB) est donné par yByAxBxA,

avec A(xA;yA) et B(xB;yB).

L'équation réduite d'une droite est de la forme y=mx+pm est le coefficient de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.

Pour déterminer p, on traduit le fait que le point B(b, f(b)) appartienne à la droite (AB) : on a f(b)=f(b)f(a)bab+p, d'où p=f(b)f(b)f(a)bab.

Ainsi, l'équation réduite de la tangente cherchée est :

y=f(b)f(a)bax + f(b)f(b)f(a)bab, soit y=f(b)f(a)ba(xb)+f(b).

c) Déduire une inégalité traduisant la convexité

Par hypothèse, f est convexe sur I, donc C est située au-dessous de ses sécantes ou cordes. La droite (AB) est une sécante de C.

Considérons les points N et P de même abscisse x0 (compris entre les abscisses de A0 et B0), N étant un point de la droite (AB) et P un point de la courbe C.

La fonction f étant convexe sur I, P est donc au-dessous de N, ce qui se traduit par le fait que l'ordonnée de P soit inférieure à celle de N.

P a pour coordonnées (ta+(1t)b;f(ta+(1t)b)) car P est un point de C.

N a pour ordonnée y0 telle que :

y0=f(b)f(a)ba(x0b)+f(b)=f(b)f(a)ba(ta+(1t)bb)+f(b),

soit y0=f(b)f(a)ba(t(ab))+f(b)=t(f(b)f(a))+f(b)=tf(a)+(1t)f(b).

Ainsi N a pour coordonnées (ta+(1t)b;tf(a)+(1t)f(b)).

Puisque l'ordonnée de P est inférieure à celle de N, on peut écrire :

f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b).

d) Si f est concave sur I, la courbe représentant f est située au-dessus de ses cordes.

L'ordonnée de P est donc supérieure à celle de N, soit :

f(ta+(1t)b) tf(a)+(1t)f(b).

Partie B : Applications

1. Étudier la convexité d'une fonction composée

Soient a et b deux éléments de I et t0;1.

à noter

Une fonction croissante conserve l'ordre ; l'ordre des images est le même que celui des éléments de départ.

Puisque f est convexe sur I, on a :

f(ta+(1t)b)tf(a)+(1t)f(b).

Comme g est croissante sur , on en déduit que :

gfta+(1t)bgtf(a)+(1t)f(b).

De plus, g étant convexe, on a aussi d'après la partie A :

gtf(a)+(1t)f(b)tgf(a)+(1t)gf(b).

Cela entraîne gf(ta+(1t)b)tgf(a)+(1t)gf(b),

soit hta+(1t)bth(a)+(1t)h(b).

Cette inégalité permet d'affirmer que la fonction h:x gf(x) est convexe sur I.

2. a) Étudier la convexité de la fonction ln sur 0;+

Pour montrer que la fonction logarithme népérien est concave sur 0;+, on commence par calculer la dérivée seconde.

La fonction ln est dérivable sur 0;+ et a pour dérivée x1x.

De même, la fonction x1x est dérivable sur 0;+ et a pour dérivée x1x2.

La dérivée seconde de la fonction ln est donc négative. On en déduit que la fonction logarithme népérien est concave sur 0;+.

b) Démontrer des inégalités

D'après l'inégalité démontrée dans la partie A, on peut écrire que, pour tout t0;1, ln(ta+(1  t)b) tln(a)+(1  t)ln(b) car la fonction ln est concave sur 0;+.

En donnant à t la valeur 12, on obtient : ln12a+12b12lna+12lnb.

à noter

Pour tous a, b réels positifs on sait que ln(ab)= ln a + ln b et ln a=12 ln a.

L'inégalité précédente peut encore s'écrire lna+b2lna+lnb ou encore lna+b2lnab.

La fonction ln est croissante, on en déduit que aba+b2.

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