Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile

Conditionnement

matT_1309_07_06C

Ens. spécifique

27

CORRIGE

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 1 • 5 points

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d’hommes.

Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.

On admet que ces proportions restent stables.

Partie A

On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.

On note l’événement « la personne choisie est un homme », l’événement « la personne choisie est une femme », l’événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et l’événement contraire de E.

Rappel des notations :

Si et sont deux événements donnés, désigne la probabilité que l’événement se réalise et désigne la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé.


 

>1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité proposé ci-contre. (1 point)

>2.a) Traduire par une phrase l’événement et calculer sa probabilité. (0,75 point)

b) Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. (0,75 point)

c) Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? (0,75 point)

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.

Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.

On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.

On note la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.

>1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)

>2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (0,5 point)

On arrondira le résultat au centième.

>3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné. (0,75 point)

On donnera une valeur arrondie au dix millième.

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

Chaque personne a la même probabilité d’être choisie, donc la probabilité de l’événement est égale à la proportion d’hommes dans la population.

Les événements et sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.

>2. c) Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie B

>1. L’expérience peut être considérée comme la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

>2. Utilisez les résultats du cours sur la loi binomiale.

>3. L’événement contraire de « l’employé obtient au moins une souscription » est « l’employé n’obtient aucune souscription ».

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La clientèle est composée de 65 % d’hommes et donc 35 % de femmes ; 30 % des hommes écoutent les explications, donc 70 % ne les écoutent pas ; 60 % des femmes écoutent les explications, donc 40 % ne les écoutent pas.

La situation peut être alors représentée par l’arbre ci-dessous :

Notez bien

Les probabilités portées par les branches « de deuxième niveau » de l’arbre (celles qui aboutissent aux événements et ) sont des probabilités conditionnelles.


 

>2.a) Interpréter concrètement un événement et calculer sa probabilité

L’événement est « la personne contactée est une femme qui écoute les explications ». D’après l’arbre précédent :

b) Calculer la probabilité d’un événement

On cherche .

, car et sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers.

D’après l’arbre :

c) Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche .

Notez bien

Il s’agit d’une probabilité conditionnelle « sachant  » car on suppose que le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute, c’est-à-dire que l’événement est réalisé.

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

Partie B

>1. Justifier la loi d’une variable aléatoire

Notez bien

car 12 % des personnes interrogées souscrivent au nouveau forfait.

comptabilise le nombre de succès (la personne contactée souscrit au nouveau forfait) dans la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès .

Doncsuit la loi binomiale de paramètreset, notée.

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné est .

D’après les résultats du cours sur la loi binomiale :

Attention !

Si le démarcheur obtient 5 souscriptions sur 60 appels, alors 55 personnes appelées ne souscrivent pas au nouveau forfait (« échec ») ; la probabilité d’échec est , soit .

>3. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné est .

Cette probabilité est égale à , car les événements (l’employé obtient au moins une souscription) et (l’employé n’obtient aucune souscription) sont deux événements contraires.

, donc :