Démontrer qu’un triangle est rectangle isocèle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Démontrer qu’un triangle est  rectangle  isocèle

Nombres complexes et applications

Corrigé

24

Ens. spécifique

matT_1200_00_48C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

On considère, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E)  :

.

>  1.  Démontrer que 2 est une solution de (E). (0,75  point)

>  2.  Démontrer que (E) peut s’écrire sous la forme

a, b et c sont trois réels que l’on déterminera. (1  point)

>  3.  En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique avec la notation exponentielle. (0,5  point)

PARTIE B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé .

> 1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives  :

, et . (0,75 point)

> 2.  Calculer l’affixe du point C tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Placer C. (1  point)

> 3. Démontrer que le triangle OAD est rectangle isocèle. (1 point)

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Nombres complexes.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Remplacez par la valeur 2 dans l’expression .

>    2.  D’après la question 1., vous pouvez factoriser l’expression par . &Agrave l’aide d’un développement et d’une identification de coefficients, déduisez-en les valeurs de a, b et c.

>    3.  Une fois les valeurs de a, b et c trouvées, résolvez dans une équation du second degré. →  fiche    C36 B 

&Eacute crivez ensuite les nombres complexes sous forme trigonométrique, avec la notation exponentielle. →  fiche    C35 

Partie B

>    1.  Remarquez que deux des nombres complexes sont des nombres conjugués et que le troisième est un nombre réel. →  fiche    C33 

>    2.  Si ABCD est un parallélogramme, que peut-on en déduire vectoriellement  ? Puis pour les affixes  ? →  fiche    C37 

>    3.  Remarquez que zA, zB et zD sont les solutions de l’équation (E) de la partie A. Vous connaissez donc leurs modules et leurs arguments grâce à leurs notations exponentielles. Démontrez alors que à l’aide des modules, puis déterminez une mesure de l’angle en utilisant la relation de Chasles. →  fiche    C37 B