Démontrer qu’un triangle est rectangle isocèle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Démontrer qu’un triangle est rectangle isocèle

Nombres complexes et applications

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1200_00_48C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

On considère, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) :

.

> 1. Démontrer que 2 est une solution de (E). (0,75 point)

> 2. Démontrer que (E) peut s’écrire sous la forme

a, b et c sont trois réels que l’on déterminera. (1 point)

> 3. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique avec la notation exponentielle. (0,5 point)

PARTIE B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé .

> 1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives :

, et . (0,75 point)

> 2. Calculer l’affixe du point C tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Placer C. (1 point)

> 3. Démontrer que le triangle OAD est rectangle isocèle. (1 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Nombres complexes.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Remplacez par la valeur 2 dans l’expression .

>  2. D’après la question 1., vous pouvez factoriser l’expression par . À l’aide d’un développement et d’une identification de coefficients, déduisez-en les valeurs de a, b et c.

>  3. Une fois les valeurs de a, b et c trouvées, résolvez dans une équation du second degré. → fiche  C36 B 

Écrivez ensuite les nombres complexes sous forme trigonométrique, avec la notation exponentielle. → fiche  C35 

Partie B

>  1. Remarquez que deux des nombres complexes sont des nombres conjugués et que le troisième est un nombre réel. → fiche  C33 

>  2. Si ABCD est un parallélogramme, que peut-on en déduire vectoriellement ? Puis pour les affixes ? → fiche  C37 

>  3. Remarquez que zA, zB et zD sont les solutions de l’équation (E) de la partie A. Vous connaissez donc leurs modules et leurs arguments grâce à leurs notations exponentielles. Démontrez alors que à l’aide des modules, puis déterminez une mesure de l’angle en utilisant la relation de Chasles. → fiche  C37 B 

Corrigé

PARTIE A

>1. Vérifier qu’une valeur est solution d’une équation

En substituant 2 à dans l’expression  :

.

2 est solution de l’équation (E).

>2. Factoriser une expression

  • 2 étant solution de l’équation (E), l’expression peut être factorisée par  : a, b et c sont des nombres réels.
  • Déterminons a, b et c en développant l’expression  :

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

Par identification : a= 1, b- 2a= 2, c – 2b = 0 et – 2c= – 16, soit a= 1, b - 2 = 2 et c= 8, puis a= 1, b= 4 et c= 8.

  • On a donc pour tout .

>3. Résoudre dans une équation du second degré

  • Tout d’abord, nous savons que est solution de l’équation (E).
  • Cherchons ensuite les autres solutions, qui sont les solutions dans de l’équation du second degré à coefficients réels .


et .

Δ < 0 donc les solutions de l’équation sont des nombres complexes conjugués.

fiche  C36B 

On a et .

  • Finalement : S .
  • Cherchons la forme trigonométrique des solutions de l’équation (E) en utilisant la notation exponentielle :

Ainsi : .

On pose à près.

On a alors :  ;

d’où : et , donc , avec .

  • Finalement : ,

et 2 est un nombre réel strictement positif donc 2 = 2.

PARTIE B

>1. Représenter géométriquement un nombre complexe


>2. Calculer l’affixe d’un point

ABCD est un parallélogramme donc , ce qui équivaut à soit . On a donc :

.

Le point C est le point d’affixe .

>3. Démontrer qu’un triangle est isocèle et rectangle

  • D’après la partie A, question 3., ,

donc et le triangle OAD est isocèle en O.

  • par la relation de Chasles

Or d’après la partie A, question 3., et .

Donc [2π], une mesure de l’angle .

Le triangle OAD est donc rectangle en O.

  • En conclusion, le triangle OAD est rectangle isocèle en O.