▶ 1. Calculer les trois premiers termes d’une suite

Les seuls éléments de E₁ sont 0 et 1, donc $\boxed{{\mathcal{L}}_1=2}$.

Les éléments de E₂ sont $(\text{0 };1)$, $(\text{1 };0)$ et $(\text{1 };1)$, donc $\boxed{{\mathcal{L}}_2=3}$.

Les éléments de E₃ sont $(\text{0 };\text{ 1 };0)$, $(\text{0 };\text{ 1 };1)$, $(\text{1 };\text{ 0 };1)$, $(\text{1 };\text{ 1 };0)$ et $(\text{1 };\text{ 1 };1)$, donc $\boxed{{\mathcal{L}}_3=5}$.

On a bien ${\mathcal{L}}_3={\mathcal{L}}_1+{\mathcal{L}}_2$.

▶ 2. a) Dénombrer en considérant plusieurs cas

Un élément de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ qui commence par 1 est formé de 1 suivi de n’importe quel élément de ${\mathcal{E}}_{n+1}$. Le nombre d’éléments de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ qui commencent par 1 est donc ${\mathcal{L}}_{n+1}$.

Si un élément de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ commence par 0, le deuxième terme est nécessairement 1, car on ne peut pas avoir deux termes consécutifs égaux à 0. Donc un élément de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ qui commence par 0 est formé de 0 et 1, suivis de n’importe quel élément de E_n. On en déduit que le nombre d’éléments de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ qui commencent par 1 est L_n.

b) Raisonner pour dénombrer

Un élément de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ commence soit par 0, soit par 1.

Il n’y a pas d’autres types d’éléments.

c) Justifier une relation par déduction

D’après le principe additif, puisqu’aucun élément de ${\mathcal{E}}_{n+2}$ ne commence­ à la fois par 0 et par 1, le nombre d’éléments de ${\mathcal{E}}_{n+2}$, c’est-à-dire ${\mathcal{L}}_{n+2}$, est la somme du nombre d’éléments qui commencent par 1 et du nombre d’éléments qui commencent par 0.

D’où $\boxed{{\mathcal{L}}_{n+2}={\mathcal{L}}_n+{\mathcal{L}}_{n+1}}$ pour tout entier naturel non nul n.

▶ 3. Compléter un algorithme

Pour calculer L₃₈, on complète l’algorithme de la manière suivante :

▶ 4. a) Modéliser une situation concrète

Pour tout entier naturel n, notons G_n le nombre de manières, pour la grenouille, de monter n marches de l’échelle. On a G₁ = 1 (une seule manière de monter une marche), G₂ = 2 (deux manières de monter 2 marches : une marche après l’autre, ou bien directement sur la deuxième marche), G₃ = 3 (trois manières de monter 3 marches : l’une après l’autre, directement sur la deuxième marche, puis sur la troisième, sur la première marche puis les deux autres en même temps).

Plus généralement, pour une échelle à n + 2 marches, on peut distinguer deux cas suivant ce que fait la grenouille au départ :

soit elle monte sur la première marche, et elle a ensuite $G_{n+1}$ manières de monter les n + 1 marches restantes ;

soit elle saute directement sur la deuxième marche, et elle a G_n manières de monter les n marches restantes.

On en déduit que, pour tout entier naturel n : G_n+2 = G_n+1 + G_n.

La suite (G_n) vérifie la même relation de récurrence que la suite (L_n) étudiée précédemment.

Cependant, on a G₁ = 1, G₂ = 2 et G₃ = 3, alors que L₁ = 2 et L₂ = 3. On retrouve les mêmes valeurs avec un décalage des indices ; pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : G_n = L_n-1. En particulier, le nombre de manières, pour la grenouille, de monter une échelle à 39 marches est :

$\boxed{G_{39}={\mathcal{L}}_{38}}$

b) Calculer un terme d’une suite définie par une relation de récurrence

Si la grenouille s’arrête à la 13^e marche, c’est comme si elle montait une échelle à 13 marches. D’après la question précédente, le nombre de manières est G₁₃, qui est égal à L₁₂.

À l’aide de la calculatrice, avec un programme Python ou en faisant le calcul de proche en proche, on trouve G₁₃ = 377. La grenouille peut monter les 13 marches de 377 manières différentes.

377 > 365 (il y a 365 jours dans une année et même 366 jours pour les années bissextiles), il y a moins de jours dans une année que de manières de monter l’échelle, il est donc plausible que la grenouille ne soit pas montée deux fois de la même manière au cours d’une année.