Dépistage du chikungunya

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 3 • 5 points

Dépistage du chikungunya

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0,98 ;

la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0,01.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population « cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

M l’événement : « L’individu choisi est atteint du chikungunya » ;

T l’événement : « Le test de l’individu choisi est positif ».

On notera 4726793-Eq1 (respectivement 4726793-Eq2) l’événement contraire de l’événement M (respectivement T).

On note 4726793-Eq3) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

▶ 1. a) Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

matT_1511_03_03C_01

b) Exprimer P(M T), 4726793-Eq4 puis P(T) en fonction de p.

▶ 2. a) Démontrer que la probabilité de M sachant T est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 1] par : 4726793-Eq5.

b) Étudier les variations de la fonction f.

▶ 3. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à 0,95.

En utilisant les résultats de la question 2., à partir de quelle proportion p de malades dans la population le test est-il fiable ?

Partie B

En juillet 2014, l’institut de veille sanitaire d’une île, en s’appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15 % de la population est atteinte par le virus. Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante.

Pour s’en assurer, on se propose d’étudier un échantillon de 1 000 personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu’un tel échantillon résulte de tirages avec remise.

On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par F la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

▶ 1. a) Sous l’hypothèse = 0,15, déterminer la loi de X.

b) Dans un échantillon de 1 000 personnes choisies au hasard dans l’île, on dénombre 197 personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15 % publié par l’institut de veille sanitaire ? Justifier. (On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.)

▶ 2. On considère désormais que la valeur de p est inconnue.

En utilisant l’échantillon de la question 1. b), proposer un intervalle de confiance de la valeur de p, au niveau de confiance de 95 %.

Partie C

Le temps d’incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d’écart type σ = 10.

On souhaite déterminer sa moyenne μ.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de T est donnée ci-dessous.

matT_1511_03_03C_02

Courbe représentative de la fonction densité de la loi normale N(μ ; 102)

▶ 1. a) Conjecturer, à l’aide du graphique, une valeur approchée de μ.

b) On donne p(T < 110) = 0,18. Hachurer sur le graphique un domaine dont l’aire correspond à la probabilité donnée.

▶ 2. On note 4726793-Eq6 la variable aléatoire égale à 4726793-Eq7.

a) Quelle loi la variable aléatoire 4726793-Eq8 suit-elle ?

b) Déterminer une valeur approchée à l’unité près de la moyenne μ de la variable aléatoire T et vérifier la conjecture de la question 1.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Lois de probabilités • Intervalles de fluctuation et de confiance.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré  E37 Partie A, 1. a) et 1. b)

Probabilité conditionnelle  E35 Partie A, 2. a)

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 2. b)

Lois de probabilité  E39 • E40a • E40e Partie B, 1. a) ; Partie C, 1. a), 1. b) et 2. a)

Intervalles de fluctuation et de confiance  E43 • E44 Partie B, 1. b) et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. a) Rappelez la définition de la probabilité conditionnelle à calculer, puis remplacez les probabilités qui apparaissent dans cette formule à l’aide de la question précédente et enfin factorisez par 4726793-Eq9 pour conclure.

 3. Résolvez l’inéquation 4726793-Eq10 et concluez.

Partie B

 1. b) Vérifiez que les conditions sur 4726793-Eq11 et 4726793-Eq12 sont respectées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez selon l’appartenance ou non à cet intervalle de la fréquence observée sur l’échantillon.